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premier ordre contiendra $x,y$ et $y',$ l’équation dérivée du second contiendra $x,y,y'$ et $y'',$ et ainsi du reste.

42. Nous allons montrer, par quelques exemples, l’usage des équations dérivées pour la transformation des fonctions, et d’abord nous remarquerons que, par la combinaison d’une fonction avec sa fonction prime, on peut faire disparaître un exposant quelconque.

Soit l’équation

$y=\mathrm {X} ^{m},$

$\mathrm {X}$ étant une fonction quelconque de $x\,;$ en prenant les fonctions primes, on aura (n^o 16)

$y'=m\mathrm {X} ^{m-1}\mathrm {X} '\,;$

donc, divisant cette équation par la précédente, on aura

${\frac {y'}{y}}={\frac {m\mathrm {X} '}{\mathrm {X} }},\quad {\text{savoir,}}\quad \mathrm {X} y'-m\mathrm {X} 'y=0,$

équation dérivée du premier ordre où la puissance $\mathrm {X} ^{m}$ ne se trouve plus, et qui, dans cet état, est bien plus commode pour développer la valeur de $y$ en série par la méthode usitée des coefficients indéterminés.

En effet, si l’on a, par exemple,

$\mathrm {X} =a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\ldots ,$

et qu’on suppose

$y=\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\ldots ,$

on aura, en prenant les fonctions primes,

${\begin{aligned}\mathrm {X} '=&b\ +2cx\ +3dx^{2}\ +\ldots ,\\y'\ =&\mathrm {B} +2\mathrm {C} x+3\mathrm {D} x^{2}+\ldots \,;\end{aligned}}$

donc, substituant et réunissant les termes affectés de la même puissance de $x,$ on aura

${\begin{aligned}a\mathrm {B} -mb\mathrm {A} &+\left[2a\mathrm {C} +\ \ b\mathrm {B} -m(2c\mathrm {A} +b\mathrm {B} )\right]x\\&+\left[3a\mathrm {D} +2b\mathrm {C} +c\mathrm {B} -m(3d\mathrm {A} +2c\mathrm {B} +b\mathrm {C} )\right]x^{2}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots =0,\end{aligned}}$