à
ou relativement à
puisque l’augmentation de
est la même enchangeant
en
ou
en
Prenant donc
pour les fonctions dérivées de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(z+x)&=f(z)+xf'(z+u)\\&=f(z)+xf'(z)+{\frac {x^{2}}{2}}f''(z+u)\\&=f(z)+xf'(z)+{\frac {x^{2}}{2}}f''(z)+{\frac {x^{3}}{2.3}}f'''(z+u)\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9f58885d36e493af89735b7c5153eddd4353d3)
où
désigne une quantité inconnue, mais renfermée entre les limites
et ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
En changeant
en
et
en
on aura le développement de
suivant les puissances de
et l’on voit que dans ce développement la série infinie, à commencer d’un terme quelconque, est toujours égale à la valeur de ce premier terme en y mettant
à la place de
étant une quantité entre
et
que par conséquent la plus grande et la plus petite valeur de ce terme relativement à toutes les valeurs de
depuis
jusqu’à
seront les limites de la valeur du reste de la série continuée à l’infini.
Si l’on fait
on aura le développement du binôme
et l’on en conclura que la somme de tous les termes, à commencer d’un terme quelconque
![{\displaystyle {\frac {m(m-1)\ldots (m-n+1)}{1.2\ldots n}}z^{m-n}x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49170deb8b2ae64a6d66a171a676b0f5dc895a17)
sera renfermée entre ces limites
![{\displaystyle {\frac {m(m-1)\ldots (m-n+1)}{1.2\ldots n}}z^{m-n}x^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49170deb8b2ae64a6d66a171a676b0f5dc895a17)
et
![{\displaystyle {\frac {m(m-1)\ldots (m-n+1)}{1.2\ldots n}}(z+x)^{m-n}x^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9dad6a0927a1bfa99fb22c968d2ba80a63abf5)
car il est évident que la plus grande et la plus petite valeur de
seront
et ![{\displaystyle z^{m-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6b9cd68767080233245aea8ff5fe32408bddac)