Soit encore
on aura
![{\displaystyle f(x-i)={\sqrt {x-i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65378dd63f18febdd3f41202e18a35e1c173bbbd)
et, prenant les fonctions dérivées par rapport à ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle f'(x-i)={\frac {1}{2{\sqrt {x-i}}}},\quad f''(x-i)=-{\frac {1}{4(x-i)^{\frac {3}{2}}}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da4e7f2968c1736a9bf1d6b51a8de50bcb2cbc4)
Ici on aura
![{\displaystyle p={\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {x-i}}}{i}}={\frac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48892827c174117fca53de18f5d89e96d5da23b)
et de là, en prenant les fonctions dérivées relatives à ![{\displaystyle i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3d0f7dadba3056fa3c06a6bee5c0b4182471152)
![{\displaystyle {\begin{aligned}q=&-{\frac {1}{2{\sqrt {x-i}}\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}\right)^{2}}},\\r=&-{\frac {1}{8(x-i)^{\frac {3}{2}}\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}\right)^{2}}}+{\frac {1}{4(x-i)\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}\right)^{3}}}\\=&{\frac {{\sqrt {x}}+3{\sqrt {x-i}}}{8(x-i)^{\frac {5}{2}}\left({\sqrt {x}}+{\sqrt {x-i}}\right)^{3}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1e6d4e8808c3cedd30ab1d38cf187307d914d5)
Par ces substitutions dans les expressions de
on aura, en mettant
à la place de ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x+i}}&={\sqrt {x}}+{\frac {i}{{\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}}}={\sqrt {x}}+{\frac {i}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {i^{2}}{2{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}\right)^{2}}}\\&={\sqrt {x}}+{\frac {i}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {i^{2}}{8x{\sqrt {x}}}}+{\frac {i^{3}\left({\sqrt {x+i}}+3{\sqrt {x}}\right)}{8x{\sqrt {x}}\left({\sqrt {x+i}}+{\sqrt {x}}\right)^{3}}}\\&={\sqrt {x}}+{\frac {i}{2{\sqrt {x}}}}-{\frac {i^{2}}{8x{\sqrt {x}}}}+{\frac {i^{3}}{16x^{2}{\sqrt {x}}}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213e4ed31ad46e04cd0562a01fe46e23c940a6e1)
comme dans le même numéro cité.
37. On peut aussi tirer directement de la formule du no 3
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+i\mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126ee88e944103b3d708f0a5cd57327f20c3acaa)
la loi de la série et l’expression des restes, en prenant alternativement