étant regardé comme une fonction de
qui devra être nulle lorsque
puisqu’alors
devient
Comme cette équation doit avoir lieu quelle que soit la valeur de
qui est arbitraire, son équation prime relativement à
aura donc lieu aussi (no 17). On prendra donc les fonctions primes relativement a cette variable, et il est facile de voir que la fonction prime du terme
sera
car on a démontré (no 16) que, si
étant une fonction de
on a
![{\displaystyle y'=p'f'(p)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/718fba209d5a8bcb55b392df7617576a1d06d29f)
ainsi, en rapportant les fonctions dérivées à la variable
et faisant
on aura
![{\displaystyle p'=-x\quad {\text{et}}\quad y'=-xf'(p)=-xf'(x-xz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de649234ef9b857309dc92277bbe7fcd3aa5cbf9)
Donc, à cause que
ne renferme point
l’équation prime relative à
de l’équation ci-dessus sera
![{\displaystyle 0=-xf'(x-xz)+x\mathrm {P} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e21efc772c950cd4de68f1d973d191883127c7)
étant la fonction prime de
relativement à
d’où l’on tire
![{\displaystyle \mathrm {P} '=f'(x-xz).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd41b2d470d6fa5c85c08b8911fe2a1be5f668e4)
On aura donc la valeur de
en cherchant une fonction de
dont la fonction prime soit égale à
et qui, de plus, soit telle qu’elle devienne nulle lorsque
Cette valeur de
ainsi trouvée, si l’on y fait
on aura
![{\displaystyle f(x)=f+x\mathrm {P} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb783a3518229d5fc1c2e4a321214abb7ac0e3e0)
Supposons, en second lieu,
![{\displaystyle f(x)=f(x-xz)+xzf'(x-xz)+x^{2}\mathrm {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d153283212a541d10628fac3f319c0ad5a6e328b)
étant une fonction de
qui devra être nulle, comme l’on voit, lorsque ![{\displaystyle z=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4b4f587279c117e1bc45384fbd68d090bf4b8b)
En prenant, comme ci-dessus, les fonctions primes relativement à
on aura cette équation prime
![{\displaystyle 0=-xf'(x-xz)+xf'(x-xz)-x^{2}zf''(x-xz)+x^{2}\mathrm {Q} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb05aef1033338452af81351943ce94ca5776673)