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$x$ étant égal à $b,$ et l’on trouvera de même

$y''=\infty ,\quad y'''=\infty ,\quad \ldots .$

Donc le développement dont il s’agit devra contenir alors un terme de la forme $i^{m},$ $m$ étant entre $0$ et $1.$

Soit, en effet, $x=b+i\,;$ $f(x)$ deviendra $(b-a+i){\sqrt {i}},$ de sorte que le vrai développement de cette fonction sera

$(b-a){\sqrt {i}}+i^{\frac {3}{2}}.$

32. C’est aussi de la même manière qu’on résoudra la difficulté proposée à la fin du n^o 28 sur les fractions qui demeureraient toujours indéterminées, en prenant à l’infini les fonctions dérivées du numérateur et du dénominateur. Nous y avons vu que cela ne saurait arriver que dans le cas où la même valeur de $x$ rendrait ces fonctions successives infinies. Il faudra donc alors supposer $x=a+i$ ($a$ étant la valeur de $x$ qui rend ces fonctions infinies) dans l’expression générale de la fraction, réduire ensuite cette expression en série suivant les puissances ascendantes de $i,$ et le premier terme de la série, en faisant $i=0,$ donnera la valeur cherchée de la fraction pour le cas de $x=a.$

Ainsi, si l’on avait la fraction

${\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {a}}-{\sqrt {x-a}}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}},$

qui devient ${\frac {0}{0}}$ lorsque $x=a,$ et dont les fonctions primes, secondes, etc., du numérateur et du dénominateur deviennent toutes infinies par la même valeur de $x,$ en y mettant $a+i$ au lieu de $x,$ et réduisant le numérateur et le dénominateur en série, elle deviendra

${\cfrac {{\sqrt {i}}+{\cfrac {i}{2{\sqrt {a}}}}+\ldots }{{\sqrt {2ai}}+{\cfrac {i{\sqrt {i}}}{2{\sqrt {2a}}}}+\ldots }}={\cfrac {1}{\sqrt {2a}}}+{\cfrac {\sqrt {i}}{2a{\sqrt {2}}}}+\ldots ,$