impossible il en serait de même de
Mais il peut arriver que ces fonctions deviennent infinies par la même supposition de
ce qui rendra également les fractions
indéterminées : la solution de cette difficulté dépend de l’examen du second cas du no 24, dont nous allons nous occuper.
29. Ce cas a lieu lorsque la supposition de
fait disparaître dans
un radical en le rendant nul, auquel cas elle le fera disparaître de même dans les fonctions dérivées ; mais, ce radical restant dans la fonction
il doit rester aussi dans le développement de cette fonction ; par conséquent, ne pouvant affecter la valeur de
il faudra qu’il affecte l’
d’où il suit que ce développement doit contenir nécessairement des puissances irrationnelles de
Il est clair, en effet, que, si
contient la quantité
étant une fonction de
qui devient nulle lorsque
en mettant
à la place de
deviendra
![{\displaystyle \mathrm {X} +i\mathrm {X} '+{\frac {i^{2}}{2}}\mathrm {X} ''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba024739f68f7dce9f17d58a09656f5c376ad030)
et, faisant
on aura simplement
pour la valeur de
de sorte que
deviendra
![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{i\left(\mathrm {X} '+{\frac {i}{2}}\mathrm {X} ''+\ldots \right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b78b2c47e5325dff86ea278ed6c7ac7d1655bf)
donc la fonction
contiendra, dans le cas de
le radical
qui devra par conséquent se trouver dans son développement suivant les puissances de
Voyons donc ce que donnera alors le développement fautif
![{\displaystyle f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46215a32e45bcf47b1cc78ae037d349d87ef4c29)
Pour cela, j’observe que les fonctions
sont également les fonctions primes, secondes, etc., de la fonction
soit qu’on les prenne relativement à
soit qu’on les prenne relative-