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Mais il y a ici une remarque importante à faire c’est que, dans les formules que nous venons de trouver, la quantité $\mathrm {A} ,$ ainsi que $a,$ étant arbitraire, le système de logarithmes peut être pris à volonté, au lieu que, dans les formules ordinaires relatives aux arcs de cercle, le module ${\frac {1}{\mathrm {A} }}$ est égal à l’unité, ce qui donne pour la base le nombre $e,$ dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Ainsi celles-ci ne sont qu’un cas particulier de celles que nous avons trouvées, mais cette particularisation est nécessaire pour qu’elles soient applicables au cercle, comme nous l’allons démontrer.

23. Tout se réduit à prouver que dans l’expression de $\sin x$ en série le premier terme doit être simplement $x,$ au lieu que nous l’avons supposé en général $\mathrm {A} x$ (n^o 21). En employant la considération des infiniment petits, cela est évident, car on voit que, dans le cercle, le sinus, à mesure qu’il diminue, s’approche de plus en plus de l’arc, jusqu’à s’y confondre dans l’infiniment petit. Ainsi, en supposant l’arc $x$ infiniment petit, on a $\sin x=x\,;$ par conséquent, $\mathrm {A} =1.$

Mais, comme nous avons cherché à rendre notre analyse indépendante de la considération des infiniment petits, nous devons aussi en affranchir la démonstration du point dont il s’agit.

Pour cela, nous ne supposerons que le principe, établi par Archimède, que le sinus, qui est la moitié de la corde de l’arc double, est moindre que l’arc auquel il répond, et que la tangente est plus grande que ce même arc. Nous aurons ainsi

$\sin x<x\quad {\text{et}}\quad \operatorname {tang} x>x\,;$

or, comme

$\operatorname {tang} x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}},$

on aura

${\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}>x,\quad {\text{et de là}}\quad \sin x>{\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$

Employant donc l’expression de $\sin x$ en série trouvée dans le n^o 21,