dans laquelle on mettra, à la place de
et
leurs valeurs en série
et l’on développera la puissance
du second membre. On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}1&+n\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}+n^{2}\left(\mathrm {B} {\sqrt {-1}}-{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}\right)x^{2}+\ldots \\&=\cos ^{n}x\left[1+n{\frac {\sin x}{\cos x}}{\sqrt {-1}}+{\frac {n(n-1)}{2}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}{\sqrt {-1}}\right)^{2}+\ldots \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b75cfb5b87834669a1d856c1cfd15347bc4c958)
Or
![{\displaystyle {\frac {\sin x}{\cos x}}=\operatorname {tang} x,\quad \cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bed170ceaaac625c97868803a88940931c2dcef)
donc
![{\displaystyle \cos ^{n}x=\left(1-\sin ^{2}x\right)^{\frac {n}{2}}=1-{\frac {n}{2}}\sin ^{2}x+{\frac {n(n-2)}{2.4}}\sin ^{4}x-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305d1aeef816a4930871af77c080f51a1601dca2)
Substituant ces valeurs, la quantité
ne se trouvera plus que dans les coefficients, et, ordonnant les termes suivant les puissances de cette quantité, le second membre deviendra de cette forme
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}-{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}\right)^{3}-\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {1}{2}}\sin ^{2}x-{\frac {1}{4}}\sin ^{4}x-{\frac {1}{6}}\sin ^{6}x-\ldots ,\\\mathrm {Q} =&{\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tang} x{\sqrt {-1}}\right)^{2}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8cf1d68b780777f453107e02feef6868ccde488)
effaçant l’unité des deux membres et divisant toute l’équation par
elle deviendra
![{\displaystyle \mathrm {A} x{\sqrt {-1}}+n\left(\mathrm {B} {\sqrt {-1}}-{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}\right)x^{2}+\ldots =\mathrm {P} +n\mathrm {Q} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055d55c9417fdfbd3e371f48cee0f39f5dc5ea91)
et, comme elle doit avoir lieu indépendamment de la quantité
qui doit demeurer indéterminée, il faudra que les termes qui contiennent les différentes puissances de
se détruisent d’eux-mêmes, ce qui la réduira d’abord à
savoir, en développant les puissances de ![{\displaystyle \operatorname {tang} x{\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59818444ef8c2795ce86c96d1cfa5625833b7ec9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} x{\sqrt {-1}}=&\left(\operatorname {tang} x-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}x+{\frac {1}{5}}\operatorname {tang} ^{5}x-\ldots \right){\sqrt {-1}}\\&+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{2}x-{\frac {1}{4}}\operatorname {tang} ^{4}x+{\frac {1}{6}}\operatorname {tang} ^{6}x-\ldots \\&-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}x-{\frac {1}{4}}\sin ^{4}x-{\frac {1}{6}}\sin ^{6}x-\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47f23452f43282a76b91d386037a3dc8e3943f42)