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Maintenant, comme la quantité $n$ est arbitraire et doit, par la nature même de la fonction $y,$ disparaître de l’expression de cette fonction, il faudra que tous les termes multipliés par chaque puissance de $n$ se détruisent mutuellement. Ne tenant donc aucun compte de ces termes, qui doivent disparaître d’eux-mêmes quel que soit $n,$ on aura simplement

$y=a^{x}=1+x\mathrm {A} +{\frac {x^{2}\mathrm {A} ^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}\mathrm {A} ^{3}}{2.3}}+\ldots ,$

comme plus haut (n^o 11).

19. Cherchons de la même manière la valeur de $x$ en $y.$ Pour cela, nous mettrons l’équation $a^{x}=y$ sous la forme

$(1+a-1)^{nx}=(1+y-1)^{n},$

qui est identique avec la précédente, et où $n$ est encore une quantité quelconque à volonté, qui ne doit point entrer dans la valeur de $x$ en $y.$

Développant les deux membres à la manière du binôme, on aura

${\begin{aligned}1+nx(a-1)+{\frac {nx(nx-1)}{2}}(a-1)^{2}&+{\frac {nx(nx-1)(nx-2)}{2.3}}(a-1)^{3}+\ldots \\=1+n(y-1)+{\frac {n(n-1)}{2}}(y-1)^{2}&+{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3}}(y-1)^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

savoir, en effaçant l’unité de part et d’autre et divisant par $n,$

${\begin{aligned}x&(a-1)+{\frac {x(nx-1)}{2}}(a-1)^{2}+{\frac {x(nx-1)(nx-2)}{2.3}}(a-1)^{3}+\ldots \\&=(y-1)+{\frac {(n-1)}{2}}(y-1)^{2}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2.3}}(y-1)^{3}+\ldots .\end{aligned}}$

Or, $n$ étant, comme nous l’avons déjà dit, une quantité entièrement arbitraire et qui ne doit pas entrer dans l’expression de $x$ en $y,$ il faudra que les termes multipliés par les différenties puissances de $n$ se détruisent d’eux-mêmes, en sorte qu’il ne reste que ceux où $n$ n’entrera pas. On aura ainsi, en ne tenant compte que des termes sans $n,$ l’équa-