ADDITION
AU CHAPITRE II DE LA PREMIÈRE PARTIE, PAGE 33.
On peut démontrer de différentes manières la correspondance des fonctions dérivées avec les différentielles. Si l’on désigne par
la différence constante des valeurs successives
de la variable
les valeurs correspondantes de la variable
regardée comme fonction de
seront, par la formule précédente, en y faisant successivement
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}y&,\\y&+&y'dx&+&{\frac {y''dx^{2}}{2}}\ \ &+&\ \ {\frac {y'''dx^{3}}{2.3}}&+&\ \ {\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\y&+&2y'dx&+&{\frac {4y''dx^{2}}{2}}\ &+&\ {\frac {8y'''dx^{3}}{2.3}}&+&\ {\frac {16y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\y&+&3y'dx&+&{\frac {9y''dx^{2}}{2}}&+&{\frac {27y'''dx^{3}}{2.3}}&+&\ {\frac {81y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\y&+&4y'dx&+&{\frac {16y''dx^{2}}{2}}&+&{\frac {64y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {256y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f9113ab22952c10e52731582d72dc222856e2c)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29d8edcc7a8cb9300f2a4a8648ec9425424c62ce)
Si l’on prend, par des soustractions successives, les différences premières, secondes, troisièmes, etc., de ces valeurs, et qu’on les dénote par
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}dy\ &=&\ \ y'dx\ \ &+&{\frac {y''dx^{2}}{2}}&+&\quad {\frac {y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\d^{2}y&=&{\frac {2y''dx^{2}}{2}}&+&{\frac {6y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {14y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\d^{3}y&=&{\frac {6y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {36y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\d^{3}y&=&{\frac {24y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\qquad \\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb1049a212e537c87137023adf699d452e005031)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/692d29176e30f00e20e78c95e408e10f0ad9f9b4)