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Donc, multipliant ces équations respectivement par $x',y',z',\xi ',\eta ',$ $\zeta ',\ldots$ et les ajoutant ensemble, on aura celle-ci,

$\mathrm {M} (x'x''+y'y''+z'z'')+\mathrm {N} (\xi '\xi ''+\eta '\eta ''+\zeta '\zeta '')+\ldots =0,$

qui est entièrement indépendante des conditions du système, et qui par conséquent aura lieu en général, quelles que puissent être la disposition et la liaison mutuelle des corps qui le composent.

Cette équation a pour équation primitive

$\mathrm {M} \left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)+\mathrm {N} \left(\xi '^{2}+\eta '^{2}+\zeta '^{2}\right)+\ldots =\mathrm {H} ,$

dans laquelle $\mathrm {H}$ est une constante arbitraire. Or nous avons vu (n^o 11) que ${\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}$ exprime la vitesse du corps qui décrit la courbe dont $x,y,z$ sont les coordonnées ; donc, si l’on nomme $u$ la vitesse du corps $\mathrm {M} ,$ $v$ celle du corps $\mathrm {N} ,$ et ainsi des autres, on aura

$x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=u^{2},\quad \xi '^{2}+\eta '^{2}+\zeta '^{2}=v^{2},\quad \ldots ,$

et l’équation précédente deviendra

$\mathrm {M} u^{2}+\mathrm {N} v^{2}+\ldots =\mathrm {H} .$

Dans la fameuse dispute sur l’estimation des forces, on a appelé force vive d’un corps en mouvement le produit de sa masse et du carré de sa vitesse. Ainsi, en conservant cette dénomination, on voit, par l’équation qu’on vient de trouver, que la somme des forces vives de tous les corps d’un système est constante, lorsque ces corps n’éprouvent d’autres actions que celles qui résultent de leur liaison, et, en général, de toutes les conditions qui peuvent être exprimées par des équations entre les différentes coordonnées du corps, sans que le temps y entre. C’est dans cette loi que consiste le principe de la conservation des forces vives.

40. Si les corps agissaient, de plus, les uns sur les autres par des forces d’attraction ou de répulsion quelconques, ces forces donneraient, à la vérité, des termes de la même forme $\Pi f'(x),\Pi f'(y),\ldots$ dans les