Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/389

tielle, et sans laquelle le théorème dont il s’agit ne serait pas vrai en général.

Cette loi des aires aura donc lieu dans le mouvement de tout système de corps agissant les uns sur les autres d’une manière quelconque, pourvu que le système soit entièrement libre de tourner autour de l’axe des $z,$ perpendiculaire au plan des $x$ et $y\,;$ car il est visible que les conditions provenant de la liaison mutuelle des corps seront alors les mêmes, quelque direction qu’on donne aux axes des $x$ et $y.$

Et si les corps agissent les uns sur les autres par des forces d’attraction ou de répulsion, ces forces seront exprimées par des fonctions des distances ${\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}},$ lesquelles auront aussi la propriété que nous avons supposée ; par conséquent, la même loi des aires aura encore lieu.

Enfin, si les corps $\mathrm {M,N} ,\ldots$ étaient de plus animés par des forces quelconques $\mathrm {P,Q} ,\ldots$ dirigées vers des points donnés de l’axe des $z,$ éloignés du plan des $x$ et $y$ des quantités $m,n,\ldots ,$ il est facile de conclure des formules du n^o 15 que l’on aurait à ajouter aux valeurs de $\mathrm {M} x''$ et $\mathrm {N} y''$ les termes respectifs

${\frac {\mathrm {P} x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-m)^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\mathrm {P} y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-m)^{2}}}},$

et, de même, aux valeurs de $\mathrm {M} \xi ''$ et $\mathrm {N} \eta ''$ les termes

${\frac {\mathrm {Q} \xi }{\sqrt {\xi ^{2}+\eta ^{2}+(\zeta -n)^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\mathrm {Q} \eta }{\sqrt {\xi ^{2}+\eta ^{2}+(\zeta -n)^{2}}}}\,;$

et ainsi de suite. Donc les valeurs des quantités $\mathrm {M} (xy''-yx''),$ $\mathrm {M} (\xi \eta ''-\eta \xi ''),\ldots$ seront indépendantes de ces forces, et la loi des aires subsistera également dans ce cas ; donc elle subsistera aussi si les corps ne sont animés que par des forces dirigées parallèlement au même axe, et par conséquent perpendiculaires au plan des $x$ et $y.$

37. Donc, en général, si le système est libre de tourner autour d’un axe fixe, quelle que soit l’action que les corps peuvent exercer les uns