et les ordonnées
en
les fonctions représentées par les caractéristiques
ne varient point par ces changements, quel que soit l’angle
Il est facile de voir que cette propriété aura lieu, en général, dans toute fonction des quantités
Si l’on fait, dans ce cas,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}a=&x(\cos i-1)-y\sin i,\qquad &b=&y(\cos i-1)+x\sin i,\ldots ,\\\alpha =&\xi \,(\cos i-1)-\eta \sin i,&\beta =&\eta (\cos i-1)+\xi \sin i,\ldots ,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c85e945636de791fed3e06061d50550423a8339f)
il faudra qu’en substituant à la fois dans ces fonctions
à la place de
et développant suivant les puissances de
la somme des termes affectés d’une même puissance soit nulle. Or, par ces substitutions et par le développement suivant les puissances de
la fonction
devient
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\ldots )+a\operatorname {F} '(x)+b\operatorname {F} '(y)+\alpha \operatorname {F} '(\xi )+\beta \operatorname {F} '(\eta )+\ldots +{\frac {a^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd2387ad5c684baa4763bb9d1d31afec530d2de)
Mais on a
![{\displaystyle \sin i=i-{\frac {i^{3}}{2.3}}+\ldots ,\quad \cos i=1-{\frac {i^{2}}{2}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bfac339ceb323243312d86188b0f7899d1390fe)
donc les termes affectés de
dans la formule précédente seront
![{\displaystyle i\left[-y\operatorname {F} '(x)+x\operatorname {F} '(y)-\eta \operatorname {F} '(\xi )+\xi \operatorname {F} '(\eta )-\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738580ca85ded98167b4940cef3c8139e322bed3)
par conséquent on aura, pour la fonction
l’équation de condition
![{\displaystyle x\operatorname {F} '(y)-y\operatorname {F} '(x)+\xi \operatorname {F} '(\eta )-\eta \operatorname {F} '(\xi )+\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2055145afd7e3cff207f5796d291a7706bf4c5)
On trouvera de la même manière, pour la fonction
l’équation
![{\displaystyle x\Phi '(y)-y\Phi '(x)+\xi \Phi '(\eta )-\eta \Phi '(\xi )+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5141a8be4d35e67bbb2b12762e85f00fce3e6a46)
et ainsi des autres.