Ainsi, en supposant
une fonction quelconque de
les fonctions primes de
![{\displaystyle \mathrm {X} ^{m},\quad \operatorname {l} \mathrm {X} ,\quad a^{\mathrm {X} },\quad \sin \mathrm {X} ,\quad \cos \mathrm {X} ,\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2fa14f003691319733875bd2a8f6c8a0a009b1)
seront
![{\displaystyle m\mathrm {X} ^{m-1}\mathrm {X} ',\quad \mathrm {\frac {X'}{X}} ,\quad a^{\mathrm {X} }\mathrm {X} '\operatorname {l} a,\quad \mathrm {X} '\cos \mathrm {X} ,\quad -\mathrm {X} '\sin \mathrm {X} ,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f65a4e259dd82aa6394a2d002f67835825e37b3)
et leurs fonctions secondes
![{\displaystyle m\mathrm {X} ^{m-1}\mathrm {X} ''+m(m-1)\mathrm {X} ^{m-2}\mathrm {X} '^{2},\quad \mathrm {\frac {X''}{X}} -\mathrm {\frac {X'^{2}}{X^{2}}} ,\quad a^{\mathrm {X} }\mathrm {X} '^{2}\operatorname {l} a+a^{\mathrm {X} }\mathrm {X} '^{2}(\operatorname {l} a)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf5e7290b54a04ac6cd84c6587e926913a1da54)
![{\displaystyle \mathrm {X''\cos X-X'^{2}\sin X,\quad -X''\sin X-X'^{2}\cos X,\quad \ldots } ,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d805adba8030a063deec5353e90b634e37df989d)
et ainsi de suite.
17. Mais la fonction
pourrait n’être donnée que par une équation quelconque entre
et
Représentons cette équation, en général, par
on aura, par la résolution,
égal à une certaine fonction de
qu’on pourra désigner par
de sorte que, en substituant
pour
dans la fonction
elle deviendra
fonction de
seul que nous désignerons par
Cette fonction
devra donc être nulle quelle que soit la valeur de
. Donc elle le sera aussi en mettant
pour
quelle que soit la valeur de
. Mais, par cette substitution,
devient
![{\displaystyle \varphi (x)+i\varphi '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\varphi ''(x)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42577ec7c499bfba940abf0e8d3ce5c6851e6a23)
donc, pour que
puisse être une quantité quelconque, il faudra que l’on ait séparément les équations
![{\displaystyle \varphi (x)=0,\quad \varphi '(x)=0,\quad \varphi ''(x)=0,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6d927d73389cbf826717a3eda8c2423282b403)
dont la première est l’équation donnée, la seconde est sa fonction prime, la troisième sa fonction seconde, etc.
Or, puisque
sera la fonction prime de
étant regardée comme fonction de
et, par le principe établi dans le numéro précédent, cette fonction prime sera