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23. Si l’on voulait suivre la première marche de Newton, mais en prenant pour la flèche qui répond au temps très-petit $\theta$ l’expression plus exacte ${\frac {g\theta ^{2}}{2}}-{\frac {gr\theta ^{3}}{6u}}$ que nous venons de trouver, on aurait, pour la flèche qui répond au temps $-\mathrm {T} ,$ ${\frac {g\mathrm {T} ^{2}}{2}}+{\frac {gr\mathrm {T} ^{3}}{6u}}\,;$ substituant pour $\mathrm {T}$ sa valeur en $\theta ,$ $\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{u}},$ elle deviendrait ${\frac {g\theta ^{2}}{2}}-{\frac {5gr\theta ^{3}}{6u}},$ et la différence des deux flèches serait alors ${\frac {2gr\theta ^{3}}{3u}},$ qu’il faudrait prendre pour $\delta \,;$ les valeurs de $\gamma$ et $\rho$ seraient également, aux $\theta ^{3}$ près, ${\frac {g\theta ^{2}}{2}},{\frac {r\theta ^{2}}{2}},$ et l’on aurait, par la substitution,

${\frac {\alpha \delta }{4\gamma ^{2}}}={\frac {2r}{3g}}\,;\quad {\text{donc}}\quad {\frac {r}{g}}={\frac {3\alpha \delta }{8\gamma ^{2}}}.$

Prenant maintenant, comme Newton,

$\alpha =o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},\quad \gamma =\mathrm {R} o^{2},\quad \delta =2\mathrm {S} o^{3},$

on aurait le résultat exact

${\frac {r}{g}}=\mathrm {\frac {3S{\sqrt {1+Q^{2}}}}{4R^{2}}} .$

Comme Newton n’est parvenu à ce second résultat qu’en suivant une marche analogue à celle du Calcul différentiel et en considérant deux tangentes successives ou deux côtés successifs de la courbe, au lieu que, dans la première solution, il n’avait considéré qu’une seule tangente prolongée de part et d’autre du point de contact, nous avons cru devoir montrer comment, sans s’écarter de l’esprit de cette solution, mais en la rectifiant par la méthode des séries, on pouvait aussi arriver à un résultat exact. En effet, on peut toujours trouver, par cette méthode, les premiers termes de l’ordonnée en série d’une courbe, ou en général du développement d’une fonction, lesquels satisfassent aux conditions mécaniques ou géométriques du problème proposé, et la loi de ces termes donnera l’équation du problème. C’est en quoi consiste la méthode qu’on peut appeler, d’après Newton, méthode des séries, pour la distinguer de la méthode des différences ou des