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ment ${\frac {g\theta ^{2}}{2}},$ sera ${\frac {g\theta ^{2}}{2}}-{\frac {gr\theta ^{3}}{6u}}.$ Ainsi, au lieu de l’équation

${\frac {g\theta ^{2}}{2}}=\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},$

on aura celle-ci,

${\frac {g\theta ^{2}}{2}}-{\frac {gr\theta ^{3}}{6u}}=\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},$

qui est exacte jusqu’aux quantités du troisième ordre. En y substituant la valeur de $\theta$ du numéro précédent, qui est exacte jusqu’aux quantités du second ordre, on aura, au quatrième ordre près,

$\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3}={\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)o^{2}}{2u^{2}}}+\left[{\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2u^{4}}}-{\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{6u^{4}}}\right]o^{3},$

savoir,

$\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3}={\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)o^{2}}{2u^{2}}}+{\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}o^{3}}{3u^{4}}},$

d’où l’on tire, par la comparaison des termes,

$\mathrm {R} ={\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)}{2u^{2}}},\quad \mathrm {S} ={\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{3u^{4}}}.$

Substituant dans la seconde équation la valeur de $u^{2}$ tirée de la première, et qui est la même qu’on avait trouvée plus haut, on en déduira

${\frac {r}{g}}=\mathrm {\frac {3S{\sqrt {1+Q^{2}}}}{4R^{2}}} .$

C’est la valeur que Newton a donnée ensuite dans la seconde édition de ses Principes (liv. II, prob. III), et l’on voit qu’en mettant dans cette valeur $y',\ -{\frac {y''}{2}},\ -{\frac {y'''}{2.3}}$ à la place de $\mathrm {Q,R,S} ,$ comme dans le n^o 19, elle devient

$-{\frac {y'''{\sqrt {1+y'^{2}}}}{2y''^{2}}},$

telle que nous l’avons trouvée dans le n^o 17.