tions
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}u\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{2}}=&o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},\quad &-u\mathrm {T} -{\frac {r\mathrm {T} ^{2}}{2}}=&-o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},\\{\frac {g\theta ^{2}}{2}}=&\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},&{\frac {g\mathrm {T} ^{2}}{2}}=&\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1782a8ac125263309043dc5c7494db62de448b4)
ou bien simplement de celles-ci,
![{\displaystyle u\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{2}}=o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},\quad {\frac {g\theta ^{2}}{2}}=\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a6904b3b10592f391d56862e6c040872ae311f)
en prenant
et
positivement et négativement, ce qui revient à vérifier ces équations indépendamment de la valeur de
qui en effet doit demeurer indéterminée, étant supposée très-petite.
La première équation donne, aux termes du troisième ordre près,
et
étant du premier,
![{\displaystyle \theta ={\frac {o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}{u}}+{\frac {r\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)o^{2}}{2u^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd4b45b0a48c4cd6c403c895cdb56be4c04d6e9)
Cette valeur étant substituée dans la seconde, on a, au quatrième ordre près,
![{\displaystyle {\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)o^{2}}{2u^{2}}}+{\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}o^{3}}{2u^{4}}}=\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2815bece1e55d34005bbc1ef251ba78f9a15a030)
et la comparaison des termes homogènes en
donne
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)}{2u^{2}}},\quad \mathrm {S} ={\frac {gr\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2u^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f51d54a4622ca52fa1f51792241636410511ccd)
De la première on tire
et, cette valeur étant substituée dans la seconde, on a le résultat de Newton :
![{\displaystyle {\frac {r}{g}}={\frac {\mathrm {S} {\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}{2\mathrm {R} ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31afd10348fae036cb0505fd24736dc8e2da51b)
Mais nous devons remarquer que ce dernier résultat, étant tiré de la comparaison des termes affectés de
dans la transformée de l’équation
ne saurait être exact, parce que le premier membre cette équation, qui est l’expression de la flèche en temps, n’est lui-