Maintenant, en prenant les abscisses
horizontales et les ordonnées
verticales et dirigées de bas en haut, Newton suppose que, pour l’abscisse
l’ordonnée exprimée en série est
![{\displaystyle y+\mathrm {Q} o-\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b935a41f6de0b06d70c26e37c2b01c0906b8f88)
et il remarque que la partie de la tangente qui répond à la partie
de l’axe est
et que la flèche, c’est-à-dire la partie de l’ordonnées comprise entre la courbe et la tangente, est
En faisant
négatif, on aura la flèche qui répond à la même partie de la tangente, prise de l’autre côté du point de contact, et qui sera, par conséquent,
et la différence des deux flèches sera
Or il est visible que les quantités
et
répondent à celles que nous avons nommées
et
donc la quantité
qui exprime le rapport de la résistance à la gravité, deviendra, en divisant le haut et le bas par ![{\displaystyle o^{4},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2323beae8a6a27a342007ff10af5b7a539fad32)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {S} {\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}{2(\mathrm {R+S} o)^{2}}}=\mathrm {\frac {S{\sqrt {1+Q^{2}}}}{2R^{2}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04beef1ad9f2b2fe0860e007915686efe8d688c1)
la quantité infiniment petite
s’évanouissant à côté de la quantité
C’est aussi le résultat trouvé par Newton dans l’exemple premier du même problème.
Suivant notre notation, lorsque
devient
devient
![{\displaystyle y+oy'+{\frac {o^{2}}{2}}y''+{\frac {o^{3}}{2.3}}y'''+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f767dfbbc9f7c961e15f510f401eba2db13583b1)
donc, comparant avec la série de Newton, on a
![{\displaystyle \mathrm {Q} =y',\quad \mathrm {R} =-{\frac {y'''}{2}},\quad \mathrm {S} =-{\frac {y'''}{2.3}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7844d50fc7c8a3bf91d003ad63a318f2e8512fef)
substituant ces valeurs dans la formule précédente, le rapport de la résistance la gravité deviendra
au lieu que nous l’avons trouvé ci-dessus (no 17)
D’où il suit que la solution de Newton est fautive.