au lieu de
elle devient
![{\displaystyle {\frac {abc}{4}}(\sin t+\sin 3t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4433a3016371cc2e94f85763f67da9f1e4d36e28)
dont la fonction primitive, prise de manière qu’elle commence où
est
![{\displaystyle {\frac {abc}{4}}\left(1-\cos t+{\frac {1-\cos 3t}{3}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb315f839dd7b5e7b8cca2568b90c479e49c41e3)
Faisant
ce qui donne
et
elle se réduit abc à ![{\displaystyle {\frac {2abc}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a2a98cf7611d040ac3a997aa14115b45ad83e0)
Il faut prendre encore la fonction primitive de celle-ci par rapport à
depuis
jusqu’à
et comme la variable
dont la fonction prime est
ne s’y trouve pas, il n’y aura qu’à multiplier simplement par
ce qui donnera
![{\displaystyle {\frac {4abc}{3}}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e72c153f487e7e0c44d376d235293b4a422dbe)
pour la solidité ou le volume du sphéroïde entier dont
sont les trois demi-axes.
86. Venons à la formule relative à la surface et supposons d’abord, pour la simplifier,
ce qui donne un sphéroïde de révolution autour de l’axe
elle deviendra
![{\displaystyle a\sin t{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}t+c^{2}\sin ^{2}t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769ac42dd1ec1d7f685f518ef7489dae6eb0fe31)
où l’on voit que l’angle
a disparu ; je conserve la lettre
sous le signe, pour plus de généralité.
Faisons
on aura
d’ailleurson a
on aura ainsi la transformée
![{\displaystyle -as'{\sqrt {c^{2}+\left(b^{2}-c^{2}\right)s^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4d4ab4e64731b31f4d8f5cc28cfa1e97380835)
dont il faudra prendre la fonction primitive depuis
jusqu’à ![{\displaystyle s=-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6714570aafbac7680d6289616859031c5f5beb7)