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Mais on évitera l’irrationnalité de $z$ en prenant deux angles indéterminés $t$ et $u,$ et en faisant

$x=a\sin t\cos u,\quad y=b\sin t\sin u,\quad z=c\cos t\,;$

et, pour avoir le volume et la surface de tout l’ellipsoïde, il suffira, après les substitutions, de prendre les fonctions primitives séparément par rapport à $t$ et $u,$ depuis $t=0$ jusqu’à $t$ égal à deux angles droits et depuis $u=0$ jusqu’à $u$ égal à quatre angles droits car cette transformation des coordonnées de l’ellipsoïde, que M. Ivory paraît avoir employée le premier pour faciliter le calcul de l’attraction de ce solide (Transactions philosophiques de 1809, vol. XI), a l’avantage de rendre indépendantes les fonctions primitives relatives à $t$ et $u$ lorsque la double fonction primitive doit s’étendre à la surface entière.

En prenant les fonctions dérivées des $x,y,z$ par rapport à $t$ et à $u,$ on aura

${\begin{alignedat}{3}x'=&\quad \ a\cos t\cos u,\qquad &y'=&b\cos t\sin u,\qquad &z'=&-c\sin t,\\x_{_{'}}=&-a\sin t\sin u,&y_{_{'}}=&b\sin t\cos u,&z_{_{'}}=&0\,;\end{alignedat}}$

et de là on aura

${\begin{aligned}x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'=&\quad \ ab\sin t\cos t,\\z'x_{_{'}}-z_{_{'}}x'=&\quad \ ac\sin ^{2}t\sin u,\\z'y_{_{'}}-z_{_{'}}y'=&-bc\sin ^{2}t\cos u,\end{aligned}}$

de sorte que les formules pour le volume et pour la surface de l’ellipsoïde deviendront

$abc\sin t\cos ^{2}t,\quad \sin t{\sqrt {a^{2}b^{2}\cos ^{2}t+c^{2}\left(a^{2}\sin ^{2}u+b^{2}\cos ^{2}u\right)\sin ^{2}t}},$

dont il faudra prendre les fonctions primitives depuis $t=0$ jusqu’à $t=\pi$ et de puis $u=0$ jusqu’à $u=2\pi ,$ $\pi$ étant la demi-périphérie.

85. Considérons d’abord la formule

$abc\sin t\cos ^{2}t$

pour le volume. En substituant $1-\sin ^{2}t$ à la place de $\cos ^{2}t$ et ensuite