d’où l’on tire
![{\displaystyle (z')={\frac {z'y_{_{'}}-z_{_{'}}y'}{x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'}},\quad (z_{_{'}})=-{\frac {z'x_{_{'}}-z_{_{'}}x'}{x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a4c51764dd0e3abc05550e5fc38068b1da7da6)
ce sont les valeurs qu’il faudra substituer dans le radical
![{\displaystyle {\sqrt {1+(z')^{2}+(z_{_{'}})^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82ab69f75fa5352ccff46153fbec21bd3bbc9fb4)
et, la substitution faite, on aura la formule
![{\displaystyle {\sqrt {\left(x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'\right)^{2}+\left(z'x_{_{'}}-z_{_{'}}x'\right)^{2}+\left(z'y_{_{'}}-z_{_{'}}y'\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5907df14fabe24bc1686ab9f5d6f48fb7e7bac6d)
dont la double fonction primitive, prise par rapport à
et à
donnera la surface du corps, les variables
étant maintenant regardées comme de simples fonctions de
et ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
83. Ces expressions pour le volume et pour la surface d’un corps quelconque, dont les coordonnées
sont supposées fonctions de
et
étant traduites en langage différentiel, deviennent
![{\displaystyle dtdu\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{du}}-{\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dt}}\right)z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b90ed634e5625118204405f559dce6aeba24c78c)
et
![{\displaystyle dtdu{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{du}}-{\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {dx}{du}}-{\frac {dz}{du}}{\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {dy}{du}}-{\frac {dz}{du}}{\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c225f2bb572350e3b8516436d4a21e0bcdee090)
et représentent les éléments infiniment petits du volume et de la surface, qu’il faut intégrer et compléter d’abord par rapport à l’une des deux variables
et ensuite par rapport à l’autre.
84. Pour donner une application de ces formules, nous supposerons que le corps, dont on cherche la solidité et la surface, soit un ellipsoïde quelconque dont les trois demi-axes soient
l’équation de sa surface entre les trois coordonnées rectangles
parallèles aux demi-axes
sera représentée ainsi,
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e827840d891557041e332ae4a1e951827616b911)
d’où l’on aura
en fonction de
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)