et cette valeur, étant substituée dans la dernière transformée de la fonction proposée, donnera
![{\displaystyle \left[\chi '(t)\psi '(u)-\chi '(u)\psi '(t)\right]f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e5d4bd66f56d49464e4be0f2953c3b2084b622)
qu’on peut mettre sous cette forme plus simple,
![{\displaystyle (x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y')f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d916b85f561364bb626215f3374de3c147a9e0)
dans laquelle
et
peuvent être des fonctions quelconques de
et
et où les traits supérieurs indiquent les fonctions dérivées par rapport à
et les inférieurs indiquent les dérivées par rapport à ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
82. Ainsi, en regardant
comme une fonction de
et
donnée par la nature de la surface du corps, et supposant qu’on substitue à la place de
des fonctions quelconques de
et
la solidité ou le volume du corps et sa surface seront représentés par les doubles fonctions primitives relatives à
et
des formules
![{\displaystyle (x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y')z\quad {\text{et}}\quad (x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'){\sqrt {1+(z')^{2}+(z_{_{'}})^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fa22eb1bbda8e7ac40831a7d6e5281f380e1a4)
où il faut remarquer que les fonctions dérivées de
doivent être prises par rapport à
et
mais, si l’on substitue tout de suite dans
pour
et
leurs valeurs en
et
il est clair que
deviendra une simple fonction de
et
et voici comment on pourra exprimer les dérivées de
par rapport à
et
par ses dérivées par rapport à
et ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
Pour distinguer ces dérivées les unes des autres, nous renfermerons les premières entre des parenthèses. Ainsi
et
désigneront les dérivées de
prises par rapport à
et
et
désigneront simplement les dérivées de
prises par rapport à
et
après la substitution des valeurs de
en
et
dans l’expression de
En regardant donc
comme fonction de
et
comme fonctions de
et prenant les dérivées séparément par rapport à
et à
on aura, par les principes établis dans la première Partie,
![{\displaystyle {\begin{aligned}z'=&(z')x'+(z_{_{'}})y',\\z_{_{'}}=&(z')x_{_{'}}+(z_{_{'}})y_{_{'}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742dab00eba6a60e75cebc6027bfd012b8bd5980)