plus petite section du pri\sine, faites par les quatre plans tangents de la surface courbe.
Soit
l’angle que le plan tangent à l’extrémité de l’ordonnée
fait avec l’axe des
on aura (no 39)
![{\displaystyle \operatorname {tang} \alpha ={\sqrt {z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca82fb54cc788658793938fac4b4b72421a85a53)
Or on sait, par la Géométrie, que la mesure de la projection d’un plan est égale à celle de ce plan multipliée par le cosinus de son inclinaison sur le plan de projection. Donc, puisque les sections du prisme dont il s’agit ont toutes pour projection le même rectangle
la mesure de la section faite par le plan qui touche la surface à l’extrémité de l’ordonnée
sera
mais on a
donc la mesure de cette section sera
![{\displaystyle io{\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5c5bc0c8fd8384fff3d9375910da207f40feb91)
savoir, en substituant
à ![{\displaystyle z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47989a9b66a4ea8a0ec19e8159749fce8a9a8ca8)
![{\displaystyle io{\sqrt {1+\left[f'(x,y)\right]^{2}+\left[f_{_{'}}(x,y)\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e96023ba50488d5d38d62ba0618460d9210d155a)
Faisons, pour abréger,
on aura
![{\displaystyle io\varphi (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc596850018d1abc1587de7d904eb55d61d2826)
pour la mesure de la section dont il s’agit, et, mettant
à la place de
on aura celle des sections faites par les trois autres plans qui touchent la surface aux extrémités des ordonnées
et
Donc il faudra que la quantité
![{\displaystyle \operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)-\operatorname {F} (x,y+o)+\operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97dc8b77182b6c996d01ead45928fa1ab644a2ad)
soit toujours comprise entre la plus grande et la plus petite des quatre quantités
![{\displaystyle io\varphi (x,y),\quad io\varphi (x+i,y),\quad io\varphi (x,y+o),\quad io\varphi (x+i,y+o),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d93af0a85e6dd3ee9d46e7580dc58409fd717f)
et, par une analyse semblable à celle du numéro précédent, on en conclura la condition
![{\displaystyle \operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)=\varphi (x,y)={\sqrt {1+\left[f'(x,y)\right]^{2}+\left[f_{_{'}}(x,y)\right]^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77d62f3885f588f71bf6656a939340e8bc8fa82)