la place de
on aura (numéro cité)
![{\displaystyle f(x,y)=\varphi _{_{'}}(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aefe35727eb51c75d2191273b8bb0f2afd9b5369)
l’accent mis au bas de la caractéristique
dénotant la fonction dérivée par rapport à
comme nous l’avons pratiqué jusqu’à présent.
On a donc les deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} '(x,y)=\varphi (x,y)\quad {\text{et}}\quad \varphi _{_{'}}(x,y)=f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7788ae797ee2a1ccb8a947a4f1a13bffbe7c97f)
d’où, éliminant la fonction marquée par
après avoir pris les fonctions dérivées par rapport à
de la première équation, on aura
![{\displaystyle \operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)=f(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2144de237acbf157fa30855b0f607a09f06c769)
Ainsi, pour avoir la fonction
qui exprime la valeur ou la solidité du corps dont la surface est exprimée par l’équation
![{\displaystyle z=f(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1269bfd7a8dbf5a109363ce2a7992efdf8e406a9)
il faudra prendre la double fonction primitive de
relativement à
et à ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
78. On peut aussi parvenir directement à ce résultat par la considération suivante. Puisque
représente en général la partie du corps qui répond aux coordonnées
il est clair que
sera le segment compris entre les plans perpendiculaires à celui des
qui répondent aux abscisses
et
et qui sont terminés par la même ordonnée
Donc
![{\displaystyle \operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)+\operatorname {F} (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b228b744a7fc00439bf66f9dabcf17661eec2fa3)
sera l’excès du segment qui est terminé par l’ordonnée
sur celui qui est terminé par l’ordonnée
et il est visible que cette différence n’est autre chose qu’un prisme dont la base est le rectangle
dont les arêtes sont les ordonnées
de la surface qui répondent aux quatre angles de ce rectangle, c’est-à-dire les ordonnées
et dont la base supérieure