Mais, si la quantité
dépendait de l’équation
![{\displaystyle \varphi (x,y,y',\ldots ,z,z',\ldots )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00798dbde9914a368ef6daf62a86f3c74705d61)
on aurait, comme au no 71,
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\ldots &+\Delta \varphi '(y)-\left[\Delta \varphi '(y')\right]'+\left[\Delta \varphi '(y'')\right]''-\ldots =0,\\f'(z)-\left[f'(z')\right]'+\left[f'(z'')\right]''-\ldots &+\Delta \varphi '(z)\,-\left[\Delta \varphi '(z')\right]'+\left[\Delta \varphi '(z'')\right]''-\ldots =0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a32f452cce0107d74cc551ed52ec91c9d275681)
et l’équation résultante de l’élimination de l’indéterminée
contiendrait le caractère qui ferait reconnaître si la fonction
est d’elle-même, ou non, une fonction prime.
Puisque la fonction primitive de la quantité
![{\displaystyle \omega f'(y)+\omega 'f'(\eta ')+\omega ''f'(y'')+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b335fb5ee44d23e583dc107a970e3e75832406)
est représentée (no 62) par
![{\displaystyle \omega \beta +\omega '\gamma +\omega ''\delta +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c774a742f310d4193bf1dd492efc06a8aac4645a)
en omettant, ce qui est permis, la constante arbitraire, on trouvera, de la même manière, que le caractère par lequel on pourra reconnaître si cette fonction primitive est elle-même une fonction prime sera renfermé dans l’équation
![{\displaystyle \beta -\gamma '+\delta ''-\ldots =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf41af67b9dce9fc462cc79fa55af89927e720e4)
laquelle, en substituant pour
leurs valeurs (no 63), devient
![{\displaystyle f'(y')-2\left[f'(y'')\right]'+3\left[f'(y''')\right]''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34044cf8f06729760ac5e5a2482428d7b8edef6)
Ainsi, le système de cette équation et de l’équation trouvée ci-dessus renfermera le caractère par lequel on pourra juger si la fonction
est d’elle-même, ou non, la fonction seconde d’une fonction de
et ainsi de suite.
76. Ces différentes équations répondent à celles que, dans le Calcul différentiel, on nomme conditions d’intégrabilité, et dont on s’est beaucoup occupé dans ces derniers temps. Nous nous contenterons ici