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Mais, si la quantité $z$ dépendait de l’équation

$\varphi (x,y,y',\ldots ,z,z',\ldots )=0,$

on aurait, comme au n^o 71,

${\begin{aligned}f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\ldots &+\Delta \varphi '(y)-\left[\Delta \varphi '(y')\right]'+\left[\Delta \varphi '(y'')\right]''-\ldots =0,\\f'(z)-\left[f'(z')\right]'+\left[f'(z'')\right]''-\ldots &+\Delta \varphi '(z)\,-\left[\Delta \varphi '(z')\right]'+\left[\Delta \varphi '(z'')\right]''-\ldots =0,\end{aligned}}$

et l’équation résultante de l’élimination de l’indéterminée $\mathrm {A}$ contiendrait le caractère qui ferait reconnaître si la fonction $f(x,y,y',\ldots ,z,z',\ldots )$ est d’elle-même, ou non, une fonction prime.

Puisque la fonction primitive de la quantité

$\omega f'(y)+\omega 'f'(\eta ')+\omega ''f'(y'')+\ldots$

est représentée (n^o 62) par

$\omega \beta +\omega '\gamma +\omega ''\delta +\ldots ,$

en omettant, ce qui est permis, la constante arbitraire, on trouvera, de la même manière, que le caractère par lequel on pourra reconnaître si cette fonction primitive est elle-même une fonction prime sera renfermé dans l’équation

$\beta -\gamma '+\delta ''-\ldots =0.$

laquelle, en substituant pour $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ leurs valeurs (n^o 63), devient

$f'(y')-2\left[f'(y'')\right]'+3\left[f'(y''')\right]''=0.$

Ainsi, le système de cette équation et de l’équation trouvée ci-dessus renfermera le caractère par lequel on pourra juger si la fonction $f(x,y,y',y'',\ldots )$ est d’elle-même, ou non, la fonction seconde d’une fonction de $x,y,y',y'',\ldots \,;$ et ainsi de suite.

76. Ces différentes équations répondent à celles que, dans le Calcul différentiel, on nomme conditions d’intégrabilité, et dont on s’est beaucoup occupé dans ces derniers temps. Nous nous contenterons ici