par les formules du même numéro on trouve
donc la quantité
sera elle-même aussi une fonction prime, et ainsi de suite. En effet, si
sont les premiers termes du développementdes quantités
on aura (numéro cité), après la substitution de
à la place de
d’où l’on conclura, en suivant le même raisonnement, que les quantités
seront aussi, chacune en particulier, des fonctions primes.
Donc toute la série
sera nécessairement la fonction prime d’une fonction de
quelles que soient les valeurs de
et
en
Donc la quantité
![{\displaystyle f(x,y+\omega ,y'+\omega ',\ldots )-f(x,y,y',\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0363e442ddf48198c0760b119b3bdaeb370762)
qui est égale à cette série, sera une fonction prime en donnant à
une valeur quelconque, et, par conséquent aussi, en faisant
or, dans ce cas, la fonction
ne sera plus qu’une simple fonction de
sans
ni
qui pourra être censée la fonction prime d’une fonction de
Donc la fonction
sera elle-même nécessairement la fonction prime d’une fonction de ![{\displaystyle x,y,y',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992acb2c8983b07c8a59b60f3f59cde2e49b002c)
75. Il suit de là que l’équation
![{\displaystyle f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bc6e135b6ba3d3ab86c984a1aae848dd046eda1)
contient le caractère par lequel on peut reconnaitre si la fonction
est ou non une fonction prime.
On trouvera de la même manière que les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(y)-\left[f'(y')\right]'&+\left[f'(y'')\right]''-\ldots =0,\\f'(z)-\left[f'(z')\right]'&+\left[f'(z'')\right]''-\ldots =0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a08feee3bef80944d51497fd9214b4cf2b670e)
renferment le caractère par lequel on pourra reconnaître si la fonction
est ou non une fonction prime, les quantités
et
étant indépendantes.