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voir que chacune des quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ devra être en particulier une fonction prime, puisque, ces quantités renfermant des dimensions différentes de l’indéterminée $\omega$ et de ses fonctions dérivées $\omega ',\omega '',\ldots ,$ il est impossible, par la nature des fonctions dérivées, que les fonctions primitives de $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ dépendent les unes des autres. Or on a, dans le numéro cité,

$\mathrm {P} =\omega f'(y)+\omega 'f'(y')+\omega ''f''(y'')+\ldots \,;$

donc cette quantité sera d’elle-même une fonction prime. Donc enfin, si la fonction $f(x,y,y',y'',\ldots )$ est une fonction prime, l’équation

$f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\left[f'(y''')\right]'''+\ldots =0$

sera nécessairement identique.

Réciproquement, on peut démontrer que, si cette équation est identique, la fonction $f(x,y,y',y'',\ldots )$ sera nécessairement une fonction prime, car nous avons vu que, si cette équation est vraie, la quantité $\mathrm {P}$ est une fonction prime, quelles que soient les valeurs de $y$ et de $\omega \,;$ donc elle sera encore une fonction prime si à la place de $y$ on met $y+\omega .$ Supposons que, par cette substitution et par le développementsuivant les dimensions de $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots ,$ la quantité $\mathrm {P}$ devienne $\mathrm {P} +p+\ldots \,;$ la quantité $p$ contenant les premiers termes du développement dans lesquels $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots ,$ ne formeront que deux dimensions, on en conclura, comme plus haut, que la quantité $p$ sera en particulier la fonction prime d’une fonction de $x,y,y',\ldots ,\omega ,\omega ',\ldots \,;$ mais, par les formules générales que nous avons données dans le n^o 76 de la première Partie, il est facile de voir qu’on a $p=2\mathrm {Q} \,:$ donc la quantité $\mathrm {Q}$ sera une fonction prime, $y$ et $\omega$ étant quelconques donc elle sera encore une fonction prime en y substituant $y+\omega$ pour $y.$ Et, si l’on suppose que, par cette substitution et par le développementsuivant les puissances et les produits de $\omega ,\omega ',\ldots ,$ cette fonction devienne $\mathrm {Q} +q+\ldots ,$ la quantité $q$ renfermant les premiers termes du développement où les $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots$ ne formeront que trois dimensions, on en conclura aussi, comme ci-dessus, que la quantité $q$ sera elle-même une fonction prime ; mais