par le corps, et qu’on prenne les abscisses
verticales, la vitesse sera proportionnelle à
et
sera la fonction prime de l’arc de la courbe (no 37) ; ainsi
sera proportionnelle à la fonction prime du temps, dont la fonction primitive devra être un minimum. On aura donc
![{\displaystyle f(x,y,y',\ldots ,z,z',\ldots )={\frac {\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}{\sqrt {h+x}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df648050304b239f0ee1b6227edf0d51d1b374d9)
donc, prenant les fonctions primes, on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f'(y)=&0,\qquad &f'(y')=&{\frac {y'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}}},\\f'(z)=&0,&f'(z')=&{\frac {z'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}}},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9efb7ade2757df5c51b35adca24f306372187d)
et l’on aura (no 70) Les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {y'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}}}\right)'=0,\\\left({\frac {z'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}}}\right)'=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a0ac15dc643941a08ed92e8b7a55ef60809314)
lesquelles donnent d’abord ces deux-ci du premier ordre,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {y'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}}}=m,\\{\frac {z'}{{\sqrt {h+x}}{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}}}=n,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1dbd0f709d0cb1ccff2536f0621132d51717cde)
et
étant deux constantes arbitraires.
En divisant ces deux équations l’une par l’autre, on a
donc
et, prenant l’équation primitive, on aura
![{\displaystyle z={\frac {ny}{m}}+l,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebba27a66c0bb425d206ec291bb7e9237c79951)