pour l’équation du maximum ou minimum. Cette équation est susceptible de la méthode du no 55 (Ire Partie) et donne sur-le-champ
et étant deux constantes arbitraires ; si était une quantité négative alors on aurait, en prenant d’autres constantes arbitraires et
Supposons, pour plus de simplicité, que les valeurs de soient données pour les deux valeurs extrêmes et de les quantités et seront nulles d’elles-mêmes, et l’équation sera satisfaite (no 63) ; on déterminera donc les constantes et de manière que ait les valeurs données lorsque et
Maintenant, nous aurons, par les formules du no 65,
d’où l’on voit que, puisque est il n’y a que le minimum qui puisse avoir lieu. Mais cette condition ne suffit pas pour assurer l’existence du minimum ; il faudra de plus que l’on ait
Soit : 1o on aura
en prenant pour une quantité qui ne devienne point infinie entre les limites et de Si la valeur de est positive, il est clair qu’on peut satisfaire à cette condition en faisant ainsi on sera assuré, dans ce cas, de l’existence du minimum, puisque les deux quantités et sont d’ailleurs nulles par l’hypothèse que les valeurs de sont données pour et (no 67). Mais, si est négative et on aura alors la condition