pour l’équation du maximum ou minimum. Cette équation est susceptible de la méthode du no 55 (Ire Partie) et donne sur-le-champ
![{\displaystyle y=ge^{x{\sqrt {-1}}}+he^{-x{\sqrt {-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43e3f713f0319c2f6bb0c60008816e33aae9dd6)
et
étant deux constantes arbitraires ; si
était une quantité négative
alors on aurait, en prenant d’autres constantes arbitraires
et ![{\displaystyle h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c92993ef69282ac39ddc98b7150dabfae40c14)
![{\displaystyle y=g\sin(kx+h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d81c75c86111c76a5fd08a4647c23005d124d6f)
Supposons, pour plus de simplicité, que les valeurs de
soient données pour les deux valeurs extrêmes
et
de
les quantités
et
seront nulles d’elles-mêmes, et l’équation
sera satisfaite (no 63) ; on déterminera donc les constantes
et
de manière que
ait les valeurs données lorsque
et ![{\displaystyle x=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ec1eb0ca109258cd5d8ec5c725906802c4a09b)
Maintenant, nous aurons, par les formules du no 65,
![{\displaystyle \mathrm {M} =n-\nu ',\quad \mathrm {N} =2(m-\nu ),\quad \mathrm {P} =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b65037c395b89e5ac25a7c992d87cff3157e0801)
d’où l’on voit que, puisque
est
il n’y a que le minimum qui puisse avoir lieu. Mais cette condition ne suffit pas pour assurer l’existence du minimum ; il faudra de plus que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {M-{\frac {N^{2}}{4P}}} >0\quad {\text{ou}}\quad =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52268ad54bec45ccd7a701a3c27f72a25e2f97f)
Soit : 1o
on aura
![{\displaystyle n-\nu '-(m-\nu )^{2}>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c531b058f411b1b1a96124954d30d0c47bb5fc)
en prenant pour
une quantité qui ne devienne point infinie entre les limites
et
de
Si la valeur de
est positive, il est clair qu’on peut satisfaire à cette condition en faisant
ainsi on sera assuré, dans ce cas, de l’existence du minimum, puisque les deux quantités
et
sont d’ailleurs nulles par l’hypothèse que les valeurs de
sont données pour
et
(no 67). Mais, si
est négative et
on aura alors la condition
![{\displaystyle -\nu '>k^{2}+(m-\nu )^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f94d8a2a0d463733e1717f985fb1127d217c08)