dans laquelle
est une constante arbitraire qu’on déterminera en sorte que la fonction soit nulle lorsque
Supposons
et soit
la valeur de
lorsque
on aura
Ainsi la fonction primitive dont il s’agit sera
![{\displaystyle (\Omega )-(\mathrm {A} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a03f4c47cca49345994ee33b63f7780ef291ba81)
laquelle devra être nulle ou positive pour le minimum et négative pour le maximum, en faisant
Soit donc
la valeur de
lorsque
il faudra que l’on ait
ou
pour le minimum ou le maximum, ou
pour les deux cas, indépendamment de la valeur de
qui doit demeurer indéterminée.
Si la valeur de
est donnée pour les valeurs
et
de
la valeur correspondante de
étant alors nulle, on aura
et la condition précédente sera remplie tant pour le maximum que pour le minimum. Mais si les valeurs de
ne sont pas données, alors il faudra que l’on ait, pour le minimum,
ou
lorsque
et
ou
lorsque
et, pour le maximum,
ou
dans le premier cas et
ou
dans le second.
À l’égard de la valeur de la quantité
elle dépend simplement de la condition
ou
pour le minimum et
pour le maximum. Cette condition sera donc, en substituant les valeurs de
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''(y)-\nu '-{\frac {\left[f''(y,y')-2\nu \right]^{2}}{2f''(y')}}>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8021169769ce538c9054977e0044ca73caa7d419)
ou
![{\displaystyle <0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b62261d3fe64ab21a86d0f95731001db2a4d68)
et l’on pourra prendre pour
une fonction quelconque de
qui y satisfasse.
Ce qu’il y aurait de plus simple, ce serait de supposer la quantité
nulle (no 65), ce qui donnerait l’équation
![{\displaystyle \mathrm {4MP-N^{2}} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd624b17b514d3685dac59d2cb94e73bfc542201)
savoir
![{\displaystyle f''(y')\left[f''(y)-2\nu '\right]-\left[f''(y,y')-2\nu \right]^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912f78920fcaa5b4dad6fc9cad6f253b7f2a3245)
par laquelle on pourrait déterminer la valeur de
et le maximum ou minimum dépendrait simplement du signe de la quantité
ou ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''(y').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96d4066544fd36f554b7f84ffa05986c90d4b67c)