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dans laquelle $\mu$ est une constante arbitraire qu’on déterminera en sorte que la fonction soit nulle lorsque $x=a.$ Supposons $\omega ^{2}\nu =(\Omega ),$ et soit $(\mathrm {A} )$ la valeur de $(\Omega )$ lorsque $x=a\,;$ on aura $\mu =-(\mathrm {A} ).$ Ainsi la fonction primitive dont il s’agit sera

$(\Omega )-(\mathrm {A} ),$

laquelle devra être nulle ou positive pour le minimum et négative pour le maximum, en faisant $x=b.$ Soit donc $(\mathrm {B} )$ la valeur de $(\Omega )$ lorsque $x=b\,;$ il faudra que l’on ait $\mathrm {(B)-(A)} >$ ou $<0$ pour le minimum ou le maximum, ou $=0$ pour les deux cas, indépendamment de la valeur de $\omega ,$ qui doit demeurer indéterminée.

Si la valeur de $y$ est donnée pour les valeurs $a$ et $b$ de $x,$ la valeur correspondante de $\omega$ étant alors nulle, on aura $(\mathrm {A} )=0,$ $(\mathrm {B} )=0,$ et la condition précédente sera remplie tant pour le maximum que pour le minimum. Mais si les valeurs de $y$ ne sont pas données, alors il faudra que l’on ait, pour le minimum, $\nu =$ ou $>0$ lorsque $x=b$ et $\nu =$ ou $<0$ lorsque $x=a\,;$ et, pour le maximum, $\nu =$ ou $<0$ dans le premier cas et $\nu =$ ou $>0$ dans le second.

À l’égard de la valeur de la quantité $\nu ,$ elle dépend simplement de la condition $\mathrm {T}$ ou $\mathrm {M-{\frac {N^{2}}{4P}}} >0$ pour le minimum et $<0$ pour le maximum. Cette condition sera donc, en substituant les valeurs de $\mathrm {M,N,P} ,$

${\frac {1}{2}}f''(y)-\nu '-{\frac {\left[f''(y,y')-2\nu \right]^{2}}{2f''(y')}}>$ ou $<0,$

et l’on pourra prendre pour $\nu$ une fonction quelconque de $x$ qui y satisfasse.

Ce qu’il y aurait de plus simple, ce serait de supposer la quantité $\mathrm {T}$ nulle (n^o 65), ce qui donnerait l’équation

$\mathrm {4MP-N^{2}} =0,$

savoir

$f''(y')\left[f''(y)-2\nu '\right]-\left[f''(y,y')-2\nu \right]^{2}=0,$

par laquelle on pourrait déterminer la valeur de $\nu ,$ et le maximum ou minimum dépendrait simplement du signe de la quantité $\mathrm {P}$ ou ${\frac {1}{2}}f''(y').$