65. Pour simplifier la solution de cette question, nous supposerons d’abord que la quantité proposée ne renferme que les carrés et les produits des deux-quantités
on verra aisément que la même méthode s’étend aux cas plus compliqués, et nous représenterons par cette formule
![{\displaystyle \omega ^{2}\mathrm {M} +\omega \omega '\mathrm {N} +\omega '^{2}\mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cef00a9f7e639771fbf98e1223b7e348e6accb1)
la partie de la même quantité qui est toujours positive ou négative entre les limites
l’autre partie sera
![{\displaystyle \omega ^{2}\left[{\frac {1}{2}}f''(y)-\mathrm {M} \right]+\omega \omega '\left[f''(y,y')-\mathrm {N} \right]+\omega '^{2}\left[{\frac {1}{2}}f''(y')-\mathrm {P} \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db30956ffc26d72d20d005c9a8c1559131abbb3b)
dont il faudra chercher la fonction primitive, et il est facile de s’assurer d’avance que, pour que la quantité
demeure indéterminée, cette fonction ne pourra être que de la forme
prenant donc sa fonction prime et comparant terme à terme avec la précédente, on aura
![{\displaystyle \mu '=0,\quad \nu '={\frac {1}{2}}f''(y)-\mathrm {M} ,\quad 2\nu =f''(y,y')-\mathrm {N} ,\quad 0={\frac {1}{2}}f''(y')-\mathrm {P} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d7a3793b46e62f7051022def9f14d7dfc3ed392)
La première de ces équations donne
égale à une constante arbitraire, et les trois autres serviront à déterminer les valeurs de
qui seront
![{\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {1}{2}}f''(y)-\nu ',\quad \mathrm {N} =f''(y,y')-2\nu ,\quad \mathrm {P} ={\frac {1}{2}}f''(y'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca67f0c7a681de0de36c97b2a4abae12dcf57ade)
et il faudra que ces valeurs satisfassent aux conditions qui résultent des formules du no 56. Or, en prenant les quantités
et
à la place des quantités
et
et par conséquent
à la place de
et faisant
on aura pour le minimum les deux conditions
et
et pour le maximum les conditions opposées
et
ou bien l’une des deux quantités
égale à zéro, tant pour le minimum que pour le maximum, et ces conditions devront avoir lieu pour toutes les valeurs de
depuis
jusqu’à
pour que la quantité
soit constamment positive dans le premier cas et négative dans le second entre ces mêmes limites. Comme la quantité
est donnée, elle indiquera tout de suite le maxi-