qui résulte de la fonction donnée, en mettant
à la place de
soit toujours, entre les mêmes limites de
moindre dans le cas du maximum et plus grande dans le cas du minimum que la fonction primitive de
quelle que soit la valeur de
qu’on pourra regarder comme une fonction quelconque de
et quelque petite que cette valeur puisse être.
La fonction
![{\displaystyle f(x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a91bdd97d6f6b7deb42e0c5b0023b0ea9834ef7)
étant développée suivant les puissances et les produits de
d’une manière semblable à celle du no 78 (Ire Partie), deviendra
![{\displaystyle f(x,y,y',y'',\ldots )+\omega f'(y)+\omega 'f'(y')+\omega ''f'(y'')+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad47e4fc94578594778f5fcda9ea10e80c46e43b)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}\omega ^{2}f''(y)+\omega \omega 'f''(y,y')+{\frac {1}{2}}\omega ^{'2}f''(y')+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b13ac585b29b0360d6c6ec5c355bd5ea51e281a5)
où les quantités
dénotent les fonctions primes de
prises suivant
et les quantités
dénotent les fonctions secondes de la fonction
prises relativement à
seul, à
et
à
seul, et ainsi de suite ; le nombre est indéterminé ou plutôt inconnu, et peut être différent dans les différentes fonctions ; mais il doit être le même dans la même fonction, et il doit toujours être renfermé entre les limites
et ![{\displaystyle 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8c4e445819b13a052647aa3eb2be990b0a4b24)
Donc il faudra que la fonction primitive de la quantité
![{\displaystyle {\begin{aligned}\omega &f'(y)+\omega 'f'(y')+\omega ''f'(y'')+\ldots \\&+{\frac {\omega ^{2}}{2}}f''(y)+\omega \omega 'f''(y,y')+{\frac {\omega ^{'2}}{2}}f''(y')+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaaa0e3441f9c76ba82cd62026f3c790420456f0)
ait toujours une valeur négative pour le maximum et une valeur positive pour le minimum, quelque valeur qu’on donne à la fonction et aussi petite que cette valeur puisse être, en prenant cette fonction primitive de manière qu’elle soit nulle lorsque
et y faisant ensuite ![{\displaystyle x=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ec1eb0ca109258cd5d8ec5c725906802c4a09b)
Or, sans connaître la quantité
on peut prouver qu’il est toujours possible de la prendre assez petite pour que la fonction primitive de la