On prendra de la même manière les fonctions primes et secondes de cette transformée relativement à une seule variable et, faisant la fonction prime égale à zéro et la fonction seconde positive, on aura de nouveau l’équation
et la condition
On substituera pareillement dans la transformée précédente la valeur de tirée de cette équation on aura la nouvelle transformée
dans laquelle les coefficients seront donnés en comme ceux-ci le sont en et, continuant le même procédé, on aura l’équation
et la condition et ainsi de suite.
Maintenant il est aisé de voir que la dernière de ces transformées, celle qui ne contiendra plus qu’une seule des indéterminées et qui sera par conséquent de la forme sera elle-même le minimum de la quantité proposée, d’où il s’ensuit que les conditions pour que cette quantité ait un minimum positif seront
et, comme les équations qui déterminent les valeurs de sont toutes linéaires, on en conclura que ce minimum sera le seul qui puisse avoir lieu. Ainsi, le problème est résolu rigoureusement.
Au reste, il est facile de voir que par ces différentes transformations la quantité proposée deviendra de la forme
laquelle sera évidemment toujours positive ou négative, suivant que les coefficients le seront tous à la fois, et l’on voit en même temps par cette forme que les quantités pourront être nulles, pourvu qu’elles ne le soient pas toutes à la fois.
