aient déjà les valeurs convenables pour le maximum ou minimum, il faudra que, en substituant
à la place de
dans la fonction dont il s’agit, sa valeur devienne toujours plus petite dans le cas du maximum et toujours plus grande dans le cas du minimum, quelles que soient les valeurs de
et quelque petites qu’elles soient c’est ce qui résulte de la nature même du maximum ou minimum.
Développons la fonction
![{\displaystyle f(x+p,y+q,z+r,u+s,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a654613ac2089081b293a0fc74f1b5b03881ccc)
suivant les puissances et les produits des quantités
par les formules du théorème général (no 78, Ire Partie), et arrêtons-nous aux premiers termes de ce développement.
Si l’on désigne simplement (ainsi que nous l’avons pratiqué jusqu’ici) par
les fonctions primes de la fonction
prises relativement à
considérés séparément, et qu’on désigne de plus par
les fonctions secondes de la fonction
![{\displaystyle f(x+\lambda p,y+\lambda q,z+\lambda r,u+\lambda s,\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/381295f19a01eb00df1b7b6775f69e8c4b4d4df4)
prises relativement à
seul, à
et
, à
seul, à
et
à
et
et ainsi de suite, on aura
![{\displaystyle f(x+p,y+q,z+r,u+s,\ldots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a654613ac2089081b293a0fc74f1b5b03881ccc)
![{\displaystyle =f(x,y,z,u,\ldots )+pf'(x)+qf'(y)+rf'(z)+sf'(u)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df15496b0547c8dee1965b2b82c6c7160a0d1eb1)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}p^{2}f''(x)+pqf''(x,y)+{\frac {1}{2}}q^{2}f''(y)+prf''(x,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9a9691445d53cb806f3f107b9dd5520aab0e09)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2}}r^{2}f''(z)+qrf''(y,z)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad7a36baea7d455ffdb84bbb37604e6acac4a49e)
Le coefficient
désigne un nombre indéterminé compris entre
et
et qui sera le même dans la même fonction, mais pourra être différent dans les différentes fonctions.
Donc il faudra que la quantité
![{\displaystyle pf'(x)+qf'(y)+rf'(z)+sf'(u)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ee2bbc5268a3641831292259eda5c5e53c3860d)
![{\displaystyle \qquad \qquad +{\frac {1}{2}}p^{2}f''(x)+pqf''(x,y)+{\frac {1}{2}}q^{2}f''(y)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4c1aa4fe8b4e5890f6ebf058b42186b19605a14)