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CHAPITRE III.

Fonctions dérivées des puissances, des quantités exponentielles et logarithmiques, des sinus, cosinus et des expressions composées de ces fonctions simples. Équations dérivées.

10. Puisque tout se réduit à trouver la première fonction dérivée d’une fonction donnée, nous allons donner des règles générales pour la formation des fonctions dérivées des principales quantités qu’on emploie dans l’Analyse.

Par ce que nous venons de démontrer, on voit que la fonction dérivée $f'(x)$ d’une fonction donnée $f(x)$ de la variable $x$ n’est autre chose que le coefficient de $i$ dans le premier terme du développement de cette fonction, après la substitution de $x+i$ à la place de $i.$ Ainsi il ne s’agit que de-trouver ce premier coefficient.

Soit donc d’abord $f(x)=x^{m}\,;$ on aura

f(x+i)=(x+i)^{m}\,;

or il est facile de démontrer, soit par les simples règles de l’Arithmétique, soit par les premières opérations de l’Algèbre, que les deux premiers termes de la puissance $m$ du binôme $x+i$ sont $x^{m}+mx^{m-1}i,$ soit que $m$ soit un nombre entier ou fractionnaire, positif ou négatif ; ainsi on aura

f'(x)=mx^{m-1}.

De là on tirera de la même manière

f''(x)=m(m-1)x^{m-2},\quad f'''(x)=m(m-1)(m-2)x^{m-3},\quad \ldots ,