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On substituera donc ces valeurs, et, comme on a déjà trouvé $\,_{_{''}}\!u<0$ pour le maximum, et $>0$ pour le minimum, en multipliant la première condition par $\,_{_{''}}\!u,$ on aura une quantité qui devra toujours être $>0.$ Donc les conditions pour le maximum ou minimum se réduiront à ces trois-ci

$\,_{_{'}}\!u<0$ pour le maximum$\quad {\text{et}}\quad >0$ pour le minimum,

et

$\left(\,_{_{''}}\!uu''-\,_{_{'}}\!u^{'2}\right)\left(\,_{_{''}}\!uu_{_{''}}-\,_{_{'}}\!u_{_{'}}^{2}\right)>\left(\,_{_{''}}\!uu'_{_{'}}-\,_{_{'}}\!u'\,_{_{'}}\!u_{_{'}}\right)^{2}.$

On voit, par la marche de cette méthode, comment elle peut s’étendre à un plus grand nombre de variables, et l’on en peut d’abord conclure, en général, que l’on aura les équations du maximum ou minimum d’une fonction quelconque de plusieurs variables, en égalant à zéro les fonctions primes de cette fonction, prises relativement à chacune de ces variables, ce qui donnera autant d’équations que de variables. À l’égard des autres conditions nécessaires pour l’existence du maximum ou minimum, on les trouvera successivement par les principes et les formules que nous venons d’exposer.

53. Pour donner un exemple de la méthode de maximis et minimis, supposons qu’on demande la plus courte distance entre deux lignes droites données de position dans l’espace. Soit pour l’une des droites l’abscisse $x\,;$ ses deux ordonnées seront de la forme $a+bx$ et $c+dx.$ Soit pareillement pour l’autre droite l’abscisse $y,$ prise sur le même axe ; les deux ordonnées, rapportées aussi aux mêmes axes que celles de la première droite, seront de la forme $\mathrm {A+B} y$ et $\mathrm {C+D} y.$ Donc le carré de la distance entre les deux points qui répondent aux abscisses $x$ et $y$ sera exprimé par cette formule,

$(x-y)^{2}+(a-\mathrm {A} +bx-\mathrm {B} y)^{2}+(c-\mathrm {C} +dx-\mathrm {D} y)^{2},$

que nous ferons, pour plus de simplicité, égale à $2z.$