ensuite pour le maximum
et pour le minimum
et enfin
![{\displaystyle u''u_{_{''}}-u_{_{'}}^{'2}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e53d1e76fd92656439a0a279b7fed128671b9cad)
pour les deux cas. Mais, puisque
contient de plus
qui est elle-même une fonction de
et
les valeurs des fonctions désignées par
ne seront pas simplement exprimées par ces quantités, mais il faudra y ajouter les termes qui doivent provenir de la quantité
regardée comme fonction de
et
Ainsi, en prenant les fonctions primes et secondes de
on trouvera que la quantité
devient
que la quantité
devient
que la quantité
devient
que la quantité
devient
et que la quantité
devient ![{\displaystyle u'_{_{'}}+\,_{_{'}}\!u_{_{'}}z'+\,_{_{'}}\!u'z_{_{'}}+\,_{_{'}}\!uz'_{_{'}}+\,_{_{''}}\!uz'z_{_{'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/231d40314618dc879c5b38257bc0b8700713ea89)
Donc on aura d’abord, pour le maximum ou minimum, les deux conditions
![{\displaystyle u'+\,_{_{'}}\!uz'=0,\quad u_{_{'}}+\,_{_{'}}\!uz_{_{'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80705f2ed348f99de92a88aaef6398f90c891135)
de sorte qu’à cause de
on aura ces trois équations
![{\displaystyle u'=0,\quad u_{_{'}}=0,\quad \,_{_{'}}\!u=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da66a7c5baf3bc460119e41949061381814327b2)
c’est-à-dire les trois fonctions primes de
relatives à
chacune égale à zéro.
Ensuite, à cause de
on aura
![{\displaystyle u_{_{''}}+2\,_{_{'}}\!u_{_{'}}z_{_{'}}+\,_{_{''}}\!uz_{_{'}}^{2}<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f378aba3a352801293c43c7c74f31aa8c201e47)
pour le maximum, et
pour le minimum ; et pour l’un et l’autre
![{\displaystyle \left(u''+2\,_{_{'}}\!u'z'+\,_{_{''}}\!uz^{'2}\right)\left(u_{_{''}}+2\,_{_{'}}\!u_{_{'}}z_{_{'}}+\,_{_{''}}\!uz_{_{'}}^{2}\right)>\left(u'_{_{'}}+\,_{_{'}}\!u_{_{'}}z'+\,_{_{'}}\!u'z_{_{'}}+\,_{_{''}}\!uz'z_{_{'}}\right)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db20613a3fad8311ebec609ec2040413bf8f12b9)
Mais, comme la valeur de
en
et
dépend de l’équation
on prendra ses deux équations primes suivant
et
pour avoir les valeurs de
et de
on aura donc
![{\displaystyle \,_{_{'}}\!u'+\,_{_{''}}\!uz'=0\quad {\text{et}}\quad \,_{_{'}}\!u_{_{'}}+\,_{_{''}}\!uz_{_{'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fbce779c22d9fbfff832bf10273a49ce4ef349d)
d’où l’on tire
![{\displaystyle z'=-{\frac {\,_{_{'}}\!u'}{\,_{_{''}}\!u}}\quad {\text{et}}\quad z_{_{'}}=-{\frac {\,_{_{'}}\!u_{_{'}}}{\,_{_{''}}\!u}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4a3422430dcb20cc849834472b70c0a224f293)