et ensuite
pour le maximum et
pour le minimum. Si donc on substitue dans
la valeur de
tirée de l’équation
cette quantité
deviendra une simple fonction de
et sera déjà un maximum ou minimum relativement à
Il n’y aura donc qu’à la rendre encore un maximum ou minimum relativement à la quantité
qui avait été supposée constante ; or,
devant maintenant être regardée comme une fonction de
donnée par l’équation
il est clair que la fonction prime de
relativement à
ne sera pas simplement
mais
et sa fonction seconde, relative aussi à
sera
en désignant toujours par
et
les fonctions primes et secondes de
relativement à
On aura donc
![{\displaystyle z'+y'z_{_{'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b3e9975c91af36aec6ad459c1d6e0887b788de)
et, comme on a déjà
cette seconde équation se séduira à
de sorte qu’on aura, pour la détermination de
et
les deux conditions
![{\displaystyle z'=0,\quad z_{_{'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e349dc4af15de014230ecd7b797be5ed9df5ee)
comme plus haut.
Maintenant il faudra, de plus, que l’on ait
pour le maximum, et
pour le minimum ; mais, comme
doit être déterminée par l’équation
le sera par son équation prime
![{\displaystyle z'_{_{'}}+y'z_{_{''}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d241b6d5081fa19b2e8b17390a33f35a2792437)
laquelle donne
![{\displaystyle y'=-{\frac {z'_{_{'}}}{z_{_{''}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a481b3666df83b80711ede76b012aff33be06492)
Ainsi l’on aura, pour le maximum,
![{\displaystyle z''-{\frac {z_{_{'}}^{'2}}{z_{_{''}}}}<0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/626944262770cb68f7d2ef4827d3db87f7e0eecf)
et, pour le minimum,
![{\displaystyle z''-{\frac {z_{_{'}}^{'2}}{z_{_{''}}}}>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357d79e2b41878c9bd438100c95d5c61a2c24f4e)
ou bien, puisque
doit être aussi
dans le premier cas et
dans