tué
pour
et
pour
la fonction
étant la seconde fonction arbitraire. Ainsi on pourra, de cette manière, trouver l’équation primitive de toute équation du second ordre réductible à la forme
![{\displaystyle a'b_{_{'}}-b'a_{_{'}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/848715568bfd4bd2d58e63432865088b41364cbe)
les quantités
étant déduites d’une équation quelconque
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,a,b,c)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211b8424024f6cfaccdce892cf98cc013a7d7aad)
entre les quantités
et de ses deux équations primes prises dans l’hypothèse de
constantes, ce qui fournit une méthode importante pour les progrès de l’analyse inverse des fonctions de deux variables.
50. Appliquons la théorie précédente aux plans tangents. Nous avons trouvé plus haut que les éléments
du contact d’un plan représenté par l’équation
![{\displaystyle r=a+bp+cq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dba0e6e9785728a33de12fcf253c6d274929f5e8)
sont exprimés ainsi :
![{\displaystyle a=z-xz'-yz_{_{'}},\quad b=z',\quad c=z_{_{'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1810af5eff5dcae8efff31ba55ff7331aa034a1)
Donc, si l’on a une équation quelconque entre ces trois quantités, laquelle donne, par exemple,
![{\displaystyle c=f(a,b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/688af3d1bbd061853cf1a9b0677809a48bea2bf6)
l’équation primitive de cette équation du premier ordre sera représentée par le système de ces deux équations,
![{\displaystyle z=a+x\varphi (a)+yf\left[a,\varphi (a)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76789011e74ee0e61669663e8350a6c5addfac6d)
![{\displaystyle 1+x\varphi '(a)+yf'(a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5db9bffcc50475df104a8975db8ed6716a60360d)
en dénotant par
et
les fonctions primes de
et de
relatives à
La quantité
devra être éliminée pour avoir une équation en
et la fonction
sera la fonction arbitraire.