en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {A} '''=f'''(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} '''(x+\lambda i,y+\lambda o),\\&\mathrm {A} ''_{_{'}}\ =f''_{_{'}}\ (x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} ''_{_{'}}\,(x+\lambda i,y+\lambda o),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f06b023f3c907cce24ae820361c5f70267c3bebe)
Donc, si l’équation
![{\displaystyle r=\operatorname {F} (p,q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0199f5a5e77a95710d890930489b850a07464ed4)
de la surface donnée est telle qu’on puisse encore satisfaire aux trois équations
![{\displaystyle z''=\operatorname {F} ''(x,y),\quad z'_{_{'}}=\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y),\quad z_{_{''}}=\operatorname {F} _{_{''}}(x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80138c0e6aae6f6ab6dbe068a26c8579e1f88266)
les termes du second ordre disparaîtront aussi dans l’expression de
et l’on prouvera aisément qu’il sera toujours possible de prendre les quantités
et
assez petites pour que la distance
soit plus petite que la distance
pour toute autre surface donnée qui ne satisferait pas aux mêmes conditions, d’où il suit qu’il sera impossible que cette surface passe entre la surface donnée, dont l’équation est
![{\displaystyle r=\operatorname {F} (p,q),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696424f0bf253fabc402b0a0ff43e17eddb85b93)
et la proposée, dont l’équation est
![{\displaystyle z=f(x,y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34bf62cba83a193c1ceb254cf7b4ec8ef9df7dae)
et ainsi de suite.
Si l’on représente en général par
![{\displaystyle \operatorname {F} (p,q,r)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d9734c5c16a845e78801717aaa6cd77fd50ded)
l’équation de la surface donnée, qui doit avoir un point de contact avec une autre surface dont les coordonnées sont
les trois dernières équations seront renfermées dans celles-ci,
![{\displaystyle \operatorname {F} ''(x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} '_{_{'}}(x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} _{_{''}}(x,y,z)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62838df8bf648956ef5cfe99bea33b79b1ce0124)
en regardant
comme fonction de
et
et ainsi des autres.
On pourra donc étendre aux surfaces la théorie des contacts de différents ordres que nous avons exposée relativement aux lignes courbes