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rons, en mettant $z,z'$ et $z_{_{'}}$ à la place de $f(x,y),$ $f'(x,y),$ $f_{_{'}}(x,y),$

${\begin{aligned}\mathrm {D} =&i\left[z'-\operatorname {F} '(x,y)\right]+o\left[z_{_{'}}-\operatorname {F} _{_{'}}(x,y)\right]\\&+{\frac {i^{2}}{2}}\left[f''(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} ''(x+\lambda i,y+\lambda o)\right]\\&+io\left[f'_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} '_{_{'}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\right]\\&+{\frac {o^{2}}{2}}\left[f_{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)-\operatorname {F} _{_{''}}(x+\lambda i,y+\lambda o)\right].\end{aligned}}$

Supposons que les termes multipliés par $i$ et par $o$ disparaissent, ce qui a lieu en faisant $z'=\operatorname {F} '(x,y)$ et $z_{_{'}}=\operatorname {F} _{_{'}}(x,y)\,;$ l’expression de $\mathrm {D}$ ne contiendra plus que des termes d’un ordre supérieur, et il est facile de prouver qu’on pourra toujours prendre $i$ et $o$ assez petits pour que cette valeur de $\mathrm {D}$ devienne moindre que la valeur d’une pareille quantité pour une autre surface donnée, dans laquelle les termes multipliés par $i$ et par $o$ ne se détruiraient pas. Donc, si l’équation

$r=\operatorname {F} (p,q)$

de la surface donnée contient trois constantes arbitraires $a,b,c$ et qu’on les détermine de manière à satisfaire aux trois équations

$z=\operatorname {F} (x,y),\quad z'=\operatorname {F} '(x,y),\quad z_{_{'}}=\operatorname {F} _{_{'}}(x,y),$

il sera impossible qu’aucune autre surface qui ne satisferait pas aux mêmes conditions puisse passer entre cette même surface et la surface proposée dont les coordonnées sont $x,y,z.$

Il est visible que les trois équations précédentes ne sont autre chose que l’équation même de la surface donnée, en y changeant les coordonnées $p,q,r$ en $x,y,z$ et les deux équations primes de celle-ci, prises suivant $x$ et suivant $y,$ d’où l’on peut conclure, en général, que, si

$\operatorname {F} (p,q,r)=0$

est l’équation de la surface donnée, les trois équations dont il s’agit seront renfermées dans celles-ci,

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} '(x,y,z)=0,\quad \operatorname {F} _{_{'}}(x,y,z)=0,$