D’abord, pour que le plan ait avec la surface un point commun, il faut que son équation subsiste, en supposant que les coordonnées
deviennent
ce qui donnera cette première équation :
![{\displaystyle z=a+bx+cy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aec26531c7032ef1958a73b7825839f493472d4)
Considérons maintenant un autre point de la surface répondant aux coordonnées
l’ordonnée perpendiculaire
deviendra
Faisons aussi, dans l’équation du plan,
![{\displaystyle p=x+i,\quad q=y+o\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4baec9fb53fc4ce1eb938169e5919fead16c711)
l’ordonnée perpendiculaire
deviendra
![{\displaystyle a+b(x+i)+c(y+o),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b770d4cb9095987fd15db9a78f9eb3e0de9835d)
et la distance entre les points correspondants de la surface et du plan sera exprimée par
![{\displaystyle f(x+i,y+o)-a-b(x+i)-c(y+o).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43c094b57b259acf3de3324c43c3a8bb65e972b)
La fonction
peut se développer dans cette série (no 73, Ire Partie)
![{\displaystyle f(x,y)+if'(x,y)+of_{_{'}}(x,y)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81237f6c7416ecb9d949d72f8ce1e3ec99ff1469)
Donc, à cause de
![{\displaystyle f(x,y)=z=a+bx+cy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5dab738b3fb4eeee289b78fef5b155c644b0d3b)
la distance dont il s’agit, que nous désignerons par
sera exprimée ainsi :
![{\displaystyle \mathrm {D} =i\left[f'(x,y)-b\right]+o\left[f_{_{'}}(x,y)-c\right]+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x,y)+iof'_{_{'}}(x,y)+{\frac {o^{2}}{2}}f_{_{''}}(x,y)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1714933e254cf08e99a72b9f4e985b3e90b48faf)
où l’on voit d’abord que, les quantités
et
demeurant indéterminées, la valeur de
deviendra la plus petite si l’on détermine les quantités
et
de manière que les termes multipliés par
et
disparaissent, ce