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Or nous verrons ci-après (n^o 37) que cette équation montre que $d$ est l’arc de la courbe dont $a,b,c$ sont les coordonnées. Donc le rayon osculateur sera non-seulement tangent à la courbe des centres, mais encore égal à l’arc de cette courbe. Il ne sera donc autre chose que le développement de cette même courbe, laquelle sera, par conséquent, la développée de la courbe proposée, dont $x,y,z$ sont les coordonnées.

36. La condition

$m'(y-b)+n'(z-c)=0,$

que nous venons de trouver pour que la courbe ait une développée, a évidemment lieu lorsque $m$ et $n$ sont constantes, et, dans ce cas, la courbe sera toute dans un plan déterminé par ces constantes. Si ces quantités ne sont pas constantes, elles détermineront le plan tangent de la courbe, et, lorsque l’équation précédente aura lieu, les rayons osculateurs formeront une surface courbe développable. Car, en ajoutant à cette équation l’équation

$1+my'+nz'=0,$

qui est une de celles du n^o 34, on aura celle-ci,

$1+my'+n'z'+m'(y-b)+n'(z-c)=0,$

qui n’est autre chose que l’équation prime de l’équation du plan

$x-a+m(y-b)+n(z-c)=0,$

en regardant les coordonnées $a,b,c$ du plan comme constantes et la quantité $x,$ qui sert ici de paramètre et dont les autres quantités $y,z,$ $m,n$ sont supposées fonctions, comme seule variable, ce qui constitue le principe des surfaces développables, comme on le verra plus bas.

Au reste, il y a une manière plus générale de concevoir les développées des courbes, laquelle consiste à prendre le rayon de la développée dans une position inclinée au plan tangent, et qui donne lieu à plusieurs belles propriétés des courbes et des surfaces. Comme les bornes que nous nous sommes prescrites ne nous permettent pas d’entrer