et
comme données en
puisque
et
sont censées données en
ces mêmes expressions représentent alors les coordonnées de la courbe des centres : Or, pour que la même droite devienne tangente de cette courbe, il faut que les valeurs de
et
en regardant
et
comme fonctions de
ou, en général,
comme fonctions d’une autre variable quelconque, soient les mêmes dans les deux cas. Donc les valeurs de
devront être aussi les mêmes, soit que les quantités
soient seules variables, soit que les quantités
et
varient aussi en même temps ; par conséquent, il faudra que les équations qui déterminent ces valeurs aient lieu également dans les deux hypothèses.
Or, si l’on considère les équations qui ont servi à déterminer les quantités
et
en
et qu’on regarde toutes ces quantités comme variables à la fois, il est clair que les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=&d^{2},\\x-a+y'(y-b)+z'(z-c)=&0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37bd1e92731e689315cb6a304fbdcad17a93430e)
emporteront encore celle-ci,
![{\displaystyle -a'(x-a)-b'(y-b)-c'(z-c)=dd',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8c242dc72edd405f9b522c273e0e1d8a6efd0e)
qui n’est que l’équation prime de la première, en supposant
seules variables. De même les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}x-a+y'\ (y-b)+z'\ (z-c)=&0,\\1+y'^{2}+z'^{2}+y''(y-b)+z''(z-c)=&0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b6f9e343514f963c2ea7345c1263efdc25beca2)
emporteront celle-ci,
![{\displaystyle a'+y'b'+z'c'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8dab337182d8745f71df3db87ccc01e394c5398)
qui est également l’équation prime de la première, en ne prenant que
pour variables. Ces deux équations ont donc la condition demandée mais, comme elles ne suffisent pas pour la détermination des trois quantités
il faudra trouver, de la même manière, une