On trouvera d’abord, après quelques réductions,
![{\displaystyle \mathrm {R} ={\frac {{\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}}{\sqrt {y''^{2}+z''^{2}+(z'y''-y'z'')^{2}}}}{z'y''-y'z''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/163cfe251e71591506f2d240ab55719b79ebb85a)
et de là
![{\displaystyle {\begin{aligned}d=&-\ \ {\frac {\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {y''^{2}+z''^{2}+(z'y''-y'z'')^{2}}}},\\a=&x-{\frac {\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)(y'y''+z'z'')}{y''^{2}+z''^{2}+(z'y''-y'z'')^{2}}},\\b=&y+{\frac {\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)\left[y''+z'(z'y''-y'z'')\right]}{y''^{2}+z''^{2}+(z'y''-y'z'')^{2}}},\\c=&z+{\frac {\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)\left[z''-y'(z'y''-y'z'')\right]}{y''^{2}+z''^{2}+(z'y''-y'z'')^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd3d2faa6a087ebe4f0cb6535e5c14ccd3687c7)
La quantité
sera le rayon osculateur de la courbe proposée et les quantités
seront les coordonnées de la courbe des centres de tous les cercles osculateurs ; mais cette courbe ne sera pas pour cela une développée, comme dans les courbes à simple courbure.
35. Pour s’en assurer et trouver en même temps les conditions nécessaires pour qu’elle devienne une développée de la courbe à double courbure, il n’y a qu’à employer des considérations semblables à celles du no 23.
Reprenons les valeurs de
tirées des trois premières équations nous aurons
![{\displaystyle {\begin{aligned}a=&x-{\frac {(ny'-mz')d}{\mathrm {R} }},\\b=&y+{\frac {(n-z')d}{\mathrm {R} }},\\c=&z-{\frac {(m-y')d}{\mathrm {R} }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f900dc97a9db02ee634f3b5b82b097f8682e7f52)
Ces expressions, en regardant les quantités
ainsi que
et
comme constantes, et la quantité
comme seule variable, donnent les coordonnées de la droite dans laquelle est placé le rayon osculateur ; mais, en regardant toutes ces quantités comme variables