du premier ordre, les quatre équations
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {F} (x,y,z)=&0,\qquad &\operatorname {F} (x,y,z)'=&0,\\\Phi (x,y,z)=&0,&\Phi (x,y,z)'=&0\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e1dc232be7f9cfccce695746587a42b440808f6)
pour un contact du second ordre, on aura de plus les deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z)''=0,\quad \Phi (x,y,z)''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2794f43e31730aeed8cad1e552a322fd0313c4)
et ainsi de suite, en regardant, dans ces fonctions dérivées,
et
comme fonctions de
On satisfera à ces équations par le moyen des constantes arbitraires
qui entreront dans les fonctions données
et
et qu’on pourra appeler, comme ci-dessus (no 10), éléments du contact, lorsqu’elles seront déterminées en fonction de ![{\displaystyle x,y,z,y',z',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cea726b898d0d262df5179adb21de73c01f65b4)
33. Prenons pour la courbe donnée une ligne droite déterminée par les deux équations
![{\displaystyle q=a+bp,\quad r=c+dp\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e738a1c73e1247a3f1a20fdac13338ed523f90)
pour qu’elle ait un contact du premier ordre, c’est-à-dire pour qu’elle soit tangente d’une courbe quelconque proposée et rapportée aux coordonnées
on aura ces quatre équations
![{\displaystyle y=a+bx,\quad z=c+dx,\quad y'=b,\quad z'=d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40cf222acbd0691a39d768753395dcf4e374639)
d’où l’on tire
![{\displaystyle a=y-y'x,\quad c=z-z'x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb964c185484e7af5fa73c5a1fd4114ee912458)
de sorte que les équations de la tangente rapportée aux coordonnées
seront
![{\displaystyle q=y-y'x+y'p,\quad r=z-z'x+z'p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73ac487a162962fd894c428feca6f508a951a488)
Il est facile de voir que ces deux équations représentent les deux tangentes des courbes planes qui forment les projections de la courbe proposée sur les deux plans des
et
et des
et
(no 6), de sorte que, pour mener une tangente à une courbe à double courbure, il suffira toujours de mener les tangentes à ses deux projections, et la