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mitive de la fonction

$\pi f(x){\sqrt {1+\left[f'(x)\right]^{2}}}\quad {\text{ou}}\quad \pi y{\sqrt {1+y'^{2}}}.$

31. En général, supposons que l’on cherche la fonction $\operatorname {F} (x)$ par cette condition que la différence $\operatorname {F} (x+i)-\operatorname {F} (x)$ doive être renfermée entre les deux quantités $if(x,i)$ et $i\varphi (x,i),$ $f$ et $\varphi$ dénotant des fonctions données de $x$ et $i$ telles qu’en faisant $i=0$ on ait $f(x)=\varphi (x),$ et que cette condition doive avoir lieu en donnant à $i$ une valeur quelconque aussi petite qu’on voudra.

En employant notre théorème, on réduira la fonction $\operatorname {F} (x+i)$ à

$\operatorname {F} (x)+i\operatorname {F} '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j),$

et les fonctions $f(x,i),\ \varphi (x,i)$ à

$f(x)+if'(x,j),\quad \varphi (x)+i\varphi '(x,j),$

la quantité $j$ étant indéterminée, mais comprise entre les limites $o$ et $i,$ et pouvant être différente dans les différentes fonctions ; les fonctions dérivées marquées par $\operatorname {F} ',\operatorname {F} ''$ se rapportent à la variable $x,$ et les fonctions dérivées marquées par $f',\varphi '$ se rapportent à la variable $i.$ Donc, puisqu’on suppose $f(x)=\varphi (x),$ la condition dont il s’agit se réduira à faire en sorte que la quantité $i\operatorname {F} '(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\operatorname {F} ''(x+j)$ soit comprise entre les deux quantités $if(x)+i^{2}f'(x,j)$ et $if(x)+i^{2}\varphi '(x,j),$ quelque petite que puisse être la valeur de $i.$ Donc il faudra que la différence

$i\left[\operatorname {F} '(x)-f(x)\right]+i^{2}\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {F} ''(x+j)-f'(x,j)\right]$

ne soit jamais plus grande que la différence

$i^{2}\left[\varphi '(x,j)-f'(x,j)\right]\,;$

mais, tant que le terme multiplié par la première puissance de $i$ ne sera pas nul, on pourra toujours prendre $i$ assez petit pour que la première quantité devienne plus grande que la seconde, car il suffira pour cela de prendre $i$ moindre que la quantité ${\frac {\operatorname {F} '(x)-f(x)}{\varphi '(x,j)-{\frac {1}{2}}\operatorname {F} ''(x+j)}}$ abstraction