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plus haut, que l’on pourra prendre $i$ assez petit pour que le terme affecté de $i^{4},$ pris absolument, c’est-à-dire abstraction faite du signe, devienne plus grand que l’autre terme affecté de $i^{5},$ et que, par conséquent, la somme des deux termes soit nécessairement positive ou négative, selon que le terme ${\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)$ le sera. D’où il est aisé de conclure, à cause que il est toujours une quantité positive, qu’il faudra que l’on ait

$f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)<0$ pour le maximum$\quad {\text{et}}\quad f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)>0$ pour le minimum,

et ainsi de suite.

26. Donc, en général, si $y$ est une fonction quelconque de $x,$ on aura d’abord, pour le maximum ou le minimum, la condition $y'=0,$ laquelle donnera la valeur de $x,$ ensuite $y''<0$ ou $>0,$ ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé ci-dessus (n^o 24). Mais nous venons de trouver de plus que, si $y''=0,$ il faudra que l’on ait aussi en même temps $y'''=0,$ ensuite

$y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}<0$ pour le maximum$\quad {\text{et}}\quad y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}>0$ pour le minimum ;

et ainsi de suite. En général, si une fonction dérivée d’un ordre quelconque pair disparaît, il faudra que la fonction de l’ordre impair suivant disparaisse aussi, et que la suivante de l’ordre pair soit négative pour le maximum et positive pour le minimum.

Si la fonction $y$ n’est donnée que par une équation

$\operatorname {F} (x,y)=0,$

il n’y aura qu’à prendre l’équation prime

$\operatorname {F} '(x)+y'\operatorname {F} '(y)=0,$

et faire $y'=0,$ ce qui la réduira à celle-ci,

$\operatorname {F} '(x)=0,$

laquelle, combinée avec $\operatorname {F} (x,y)=0,$ servira à déterminer les valeurs