puisque la valeur de
est toujours positive, il faudra que l’on ait
![{\displaystyle f''(x)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1afc130bd9e57a213dbbd456b8ac44cc2b80f03)
pour le maximum et
![{\displaystyle f''(x)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5242d6e86d1b65eddd578b3a58f08635e32361cf)
pour le minimum.
Si l’on fait
alors, reprenant le développementde
et employant un terme de plus, on aurait
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee504267149cae8aa477da313d1c0040b1d4a1b2)
donc, puisqu’on suppose
et
on aurait pour le maximum la condition
![{\displaystyle {\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)<0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33620856040c3c915da6da3e7c25fed16d87c1c)
et pour le minimum la condition opposée. Or on peut prendre
assez petit pour que la valeur absolue du terme
surpasse celle du terme
alors la valeur de
![{\displaystyle {\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x+j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b082f360245f66766fadfee908f9db609347c4b)
sera positive ou négative, suivant celle de
Mais celle-ci change de signe avec la quantité
donc il sera impossible que la condition du maximum ou du minimum ait lieu, à moins qu’on n’ait ![{\displaystyle f'''(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94db3ca885666a654a78db864bd389d37d9b1a5c)
Employons encore le terme suivant dans le développement de
on aura
![{\displaystyle f(x+i)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f4a8aa6fe25e1804f9d0f381ad65a09db3ae40)
![{\displaystyle f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+{\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)+{\frac {i^{5}}{2.3.4.5}}f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(x+j),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e694f8423b139c33836a6c92d008431a9396998)
et les conditions du minimum ou du maximum deviendront
![{\displaystyle {\frac {i^{4}}{2.3.4}}f^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x)+{\frac {i^{5}}{2.3.4.5}}f^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}(x+j)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a56da4c64af4938b7647ee428e38e3377dfa1bf5)
ou
![{\displaystyle >0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5450e50f536f1929be473a57bf7f1203b68a00e)
à cause de
et
On prouvera ici, comme