aura ainsi
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb5a2000e37691ab216a2239bb73c5b686196a07)
étant une quantité renfermée entre les limites
et
Il faudra donc que l’on ait
![{\displaystyle if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4e8ffc528ce401f915b0cd1060cc6ba1939e745)
pour le maximum et
![{\displaystyle >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b590bbbcf66fd5a62c56490804db67a445a6548b)
pour le minimum.
Or nous avons déjà vu (no 3) que l’on peut prendre
assez petit pour que la valeur absolue du terme
soit plus grande que celle du terme
ce qui étant vrai pour une valeur de
aura lieu aussi pour toutes les valeurs de
plus petites. ; donc la quantité
![{\displaystyle if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x+j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3721077a06a5d6ede1a9b1c91a14bf7939b468)
deviendra alors positive ou négative, suivant que la quantité
le sera. Mais celle-ci change de signe avec la quantité
donc il sera, impossible que la condition du maximum ou du minimum ait lieu, à moins que l’on n’ait ![{\displaystyle f'(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3a2661a8ffede654304a2191880f90fe59a8fd)
Prenons maintenant dans le développement de
un terme de plus ; nous aurons
![{\displaystyle f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301911e6fe6f60ccecfcd6cc5aba7cde4f39ab39)
donc, à cause de
il faudra que l’on ait
![{\displaystyle {\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce2e3f951f887a5a24cd0999688d3811a64bf44d)
pour le maximum et
![{\displaystyle >0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b590bbbcf66fd5a62c56490804db67a445a6548b)
pour le minimum.
On peut aussi prendre
assez petit pour que la valeur absolue du terme
soit plus grande que celle de
alors la quantité
![{\displaystyle {\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x+j)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11e12bd44be27acf5b8972c8d004b278a4a853a)
sera positive ou négative, suivant que celle de
le sera. Donc,